5.1.1 数列的概念-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册随堂练习（人教B版）

第五章　数　列 5. 1　 数列基础 5. 1. 1　 数列的概念 1. (1)已知数列{an}的通项公式为 an = log3(2n +1) (n∈N+ ), 则 a3 = 　 　 　 　 . (2) 已知数列{ an } 的通项公式为 an = sin nπ 3 , 则 a2 021 = 　 　 　 　 . 2. 写出下列数列的一个通项公式. (1)1, 4 3 , 2, 16 5 , …; (2) - 1 3 , 1 8 , - 1 15 , 1 24 , …; (3) 1 2 , 2 5 , 3 10 , 4 17 , 5 26 , …; (4)9, 99, 999, 9 999, …; (5) -1, 1, -1, 1, -1, 1, …. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1 3. 若数列{an}的通项公式为 an =n2 -9n+1, 则该数列是 (　 　 ) A. 递增数列 B. 递减数列 C. 先递增再递减数列 D. 先递减再递增数列 4. 已知函数 f( x) = x +1 3x-16 , 数列{ an } 满足 an = f ( n) ( n∈ N∗), 则数列{an}的最大项是第　 　 　 　 项. 5. 已知数列{an}满足: ①递减数列; ②an >1. 试写出一个 这样的数列的通项公式: 　 　 　 　 . 2 ∴ 0<a<1, 1 3 -a<0, a> 1 3 -a( ) ·9+2, ì î í ï ï ï ï ï ï 解得 1 2 <a<1. 故选 C. 变式训练 7　 C　 【解析】 an = n-43. 5 n-44. 5 = 1+ 1 n-44. 5 , ∴ 当 n∈[1, 44]时, {an}单调递减, 当 n∈[45, 100]时, {an}单调递减, 结合函数 f(x)= 1+ 1 x-44. 5 的性质可知, 即(an) max =a45 , (an) min =a44 . 故选 C. 变式训练 8　 解: 方法一: an+1-an =(n+3)· 7 8( ) n+1 -(n+2)· 7 8( ) n = 7 8( ) n ·5 -n 8 . 当 0<n<5 时, an+1 -an>0, 即 an+1 >an; 当 n= 5 时, an+1 -an = 0, 即 an+1 =an; 当 n>5 时, an+1 -an<0, 即 an+1 <an . 故有 a1 <a2 <a3 <a4 <a5 =a6 >a7 >a8 >…, ∴ 当 n= 5 或 n= 6 时, 数列{an }有最大项, 即数列{an } 第 5 项和第 6 项最大. 方法二: an+1 an = (n+3)· 7 8( ) n+1 (n+2)· 7 8( ) n = 7(n+3) 8(n+2) . 令 an+1 an >1, 则7(n +3) 8(n+2) >1, 解得 0<n<5; 令 an+1 an = 1, 则7(n +3) 8(n+2) = 1, 解得 n= 5; 令 an+1 an <1, 则7(n +3) 8(n+2) <1, 解得 n>5. 又∵ an>0, 故有 a1 <a2 <a3 <a4 <a5 =a6 >a7 >a8 >…, ∴ 当 n= 5 或 n= 6 时, 数列{an }有最大项, 即数列{an } 第 5 项和第 6 项最大. 方法三: 假设{an}有最大项, 且最大项为第 k 项, 则 ak≥ak-1 , ak≥ak+1 , { 即 (k+2)· 7 8( ) k ≥(k+1)· 7 8( ) k-1 , (k+2)· 7 8( ) k ≥(k+3)· 7 8( ) k+1 , ì î í ï ï ï ï 解得 5≤k≤6, ∴ {an}的最大项为第 5 项和第 6 项. 1. (1) 2　 (2) - 3 2 　 【解析】 (1) 令 n= 3, 可得 a3 = log3(23 +1)= 2. (2) 令 n= 2 021, 则 a2 021 = sin 2 021π 3 = sin 674π- π 3( ) = -sin π 3 = - 3 2 . 2. 解: (1) 将原数列各项统一为分数: 2 2 , 4 3 , 8 4 , 16 5 , …, 故通项公式为 an = 2n n+1 . (2) 原数列各项先负后正, 符号为( -1) n, 各项分母依 次为 4-1, 9-1, 16-1, 25-1, …, 故通项公式为 an =(-1) n· 1 (n+1) 2 -1 . (3) 原数列各项分母依次为 12 +1, 22 +1, 32 +1, 42 +1, 52 +1, …, 故通项公式为