上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

复旦大学附属中学2023学年第一学期 高二年级数学期中考试试卷（A） 时间：120分钟 满分：150分 注：请将试题的解答全部做在答题纸的相应位置，做在试卷上无效. 一、填空题（本大题共有12小题，第1-6 题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 直线的倾斜角是__________. 2. 抛物线的准线方程是__________. 3. 直线过点且与直线平行，则直线的方程是__________. 4. 椭圆的离心率是__________. 5. 过点作圆的切线，则切线的方程为__________. 6. 在中，，，，则顶点的轨迹方程是__________. 7. 直线（参数，）和曲线，（为参数，）交于、两点，则__________. 8. 已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为__________. 9. 已知双曲线，过点作直线和双曲线交于A，B两点.点A在第一象限，过点A作x轴垂线，垂足为H，则直线倾斜角的取值范围是__________. 10. 如图，圆柱的底面直径与高均为2，一平面截圆柱，其截面为椭圆，该平面与圆柱的底面所成的二面角为，该椭圆的内接六边形的最大面积为__________. 11. 一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是_______. 12. 已知椭圆的两个焦点为、，为该椭圆上一点，为坐标原点且，满足，则的取值范围为__________. 二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将正确选项用2B铅笔涂黑. 13. 关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于轴对称 D. 关于原点中心对称 14. 已知直线，点、，设，，以下选项中命题都正确的为（ ） （1）若，则线段的中点在直线上 （2）若，则直线与直线平行 （3）若，则点、分布在直线的两侧 （4）若，则直线与线段的延长线相交 A. （1）（2）（3） B. （2）（3）（4） C. （1）（3）（4） D. （1）（2）（3）（4） 15. 是关于的二次方程的两个不同实数根，则经过两点，的直线与抛物线公共点的个数是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 不确定 16. 足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置P处起脚射门进球的可能性最佳（即点P对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点P，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，请你判断：每条虚线上的最一佳起脚射门点应在怎样的曲线上（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知两条直线和. （1）讨论直线与的位置关系； （2）当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值. 18. 已知拋物线的方程为. （1）求过点且与抛物线只有一个公共点的直线的方程； （2）已知直线过焦点，且与抛物线交于A，两点，点为该抛物线准线上一点，求证： 19. 如图，设直线l为公海与领海的分界线，一巡逻艇在A处发现了海面B处有一艘走私船，A与公海相距20海里.走私船可能向任一方向逃窜，若它进入公海则逃脱成功.假设走私船和巡逻艇都是沿直线航行，巡逻艇的航速是走私船航速的倍. （1）当，，时，走私船能被截获点在一个圆上，求这个圆的标准方程； （2）可知非截获区域是一个圆的内部，如果此圆和分界线l没有公共点，则巡逻艇可以成功截获走私船.已知B在A的北偏东，相距海里处，为了成功截获走私船，求的最小整数值. 20. 已知直线与椭圆有且只有一个公共点. （1）求椭圆方程； （2）是否存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）椭圆的内接四边形的对角线与垂直相交于椭圆的左焦点，是四边形的面积，求的最小值. 21. 平面上，直线和相交于点，它们的夹角为.已知动点到直线与的距离之积为定值，动点的轨迹记为曲线.我们以为坐标原点，以直线与夹角的平分线为轴，建立直角坐标系，如图. （1）求曲线方程； （2）当，时，直线与曲线顺次交于A、B、C、D四点，求证：； （3）当，时，是否