5.2.2 等差数列的前n项和-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

5. 2. 2　等差数列的前 n 项和 1. 熟练掌握等差数列的五个量 a1, d, n, an, Sn 的关系, 能够由其中三个求另外 两个. 2. 能用 an 与 Sn 的关系求 an . 3. 理解好等差数列前 n 项和与二次函 数的关系, 会求等差数列前 n 项和的最值. 4. 理解并能运用等差数列前 n 项和的 性质. 　 要点 1　 等差数列前 n 项和的计算 用 等 差 数 列 求 和 公 式: ① Sn = n(a1 +an) 2 , ②Sn = na1 + n(n-1)d 2 解决相关 问题. 例 1 　 (1) 已知 a1 = 3 2 , d = - 1 2 , Sn = -15, 求 n 和 a12; ( 2 ) 已 知 a1 = 1, an = - 512, Sn = -1 022, 求公差 d; (3) 已知 a1 = 6, a3 +a5 = 0, 求 S6 . 解: ( 1) ∵ Sn = n · 3 2 + n(n-1) 2 · - 1 2( ) = -15, 整理得 n 2 -7n-60 = 0, 解得 n= 12 或 n= -5(舍去), ∴ a12 = 3 2 +(12-1) × - 1 2( ) = -4. (2 ) 由 Sn = n(a1 +an) 2 = n(1-512) 2 = -1 022, 解得 n= 4. 又由 an =a1 +(n-1)d, 即-512 = 1+(4-1)d, 解得 d= -171. (3) 由 a3 +a5 = 2a4 = 0, 得 a4 = 0, a4 -a1 = 3d= -6, d= -2, 故 S6 = 6a1 +15d = 6×6+15 ×( -2)= 6. 　 　 反思感悟 等差数列中计算基本量的两个技巧: (1) 利用基本量求值. 等差数列的通 项公式和前 n 项和公式中有五个量 a1, d, n, an 和 Sn, 一般是利用公式列出基本量 a1 和 d 的方程组, 解出 a1 和 d, 便可解决 问题. 解题时注意整体代换的思想. (2) 利用等差数列的性质解题. 等差 数列的常用性质: 若 m+n = p+q(m, n, p, q∈N+), 则 am +an = ap +aq, 常与求和公式 Sn = n(a1 +an) 2 结合使用. (1) 等差数列{ an } 的前 n 项和为 Sn, 若 a14 = -8, S9 = -9, 则 S18 = (　 　 ) A. -162　 B. -1　 C. 3　 D. -81 (2) 已知等差数列 { an } 满足 a1 = 1, am = 99, d = 2, 则 其 前 m 项 和 Sm 等 于　 　 　 　 . 　 要点 2　 理解好等差数列的前 n 项和 Sn 　 与通项 an 之间的关系, 即 an =Sn-Sn-1 例 2 　 若数列{ an} 的前 n 项和为 Sn = 2 3 n2- 1 3 n, 则数列{an}的通项 an =　 　 　 　 . 解: 由 Sn = 2 3 n2 - 1 3 n 知, 当 n > 1 时, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 15 Sn-1 = 2 3 (n-1) 2 - 1 3 (n-1), ∴ an =Sn-Sn-1 = 2 3 n2- 1 3 n( ) - 23 (n-1) 2- 1 3 (n-1)é ë ê ê ù û ú ú = 4 3 n-1. 当 n=1 时, a1 = 2 3 - 1 3 = 1 3 , 适合 an = 4 3 n -1, ∴ an = 4 3 n-1. 　 　 反思感悟 知 “和” 求 “项” 方法步骤: (1) 由 Sn 构造 Sn-1; (2) 利用 an = Sn -Sn-1; (3) 验证 n= 1; (4) 写通项公式 an . (1) 本例中若 Sn =n2 +2n+1, 试求 an; (2) 若将本例中的条件改为 “a1 = -1, an+1 =SnSn+1”, 试求 an . 　 　 反思感悟 (1) “和” 变 “项” . 首先根据题目条 件, 得到新式(与条件相邻), 然后作差将 “和” 转化为 “项” 之间的关系, 最后求 通