5.2.2 等差数列的前n项和-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册随堂练习（人教B版）

5. 2. 2　 等差数列的前 n项和 1. 已知数列{an}的通项公式为 an = 2-3n, 则{an}的前 n 项 和 Sn = (　 　 ) A. - 3 2 n2 + n 2 B. - 3 2 n2 - n 2 C. 3 2 n2 + n 2 D. 3 2 n2 - n 2 2. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 S4 = 8, S8 = 20, 则 a11 +a12 +a13 +a14 = (　 　 ) A. 18　 　 　 　 B. 17　 　 　 　 C. 16　 　 　 　 D. 15 3. 已知函数 f(x), 对任意实数 m, n 都有 f(m+n) = f(m) + f(n) -35. 已知 f(1)= 31, 则 f(1) +f(2) +f(3) +…+f(n) (n∈N∗) 的最大值为 (　 　 ) A. 133 B. 135 C. 136 D. 138 4. 等差数列{an}的通项公式是 an = 2n+1, 其前 n 项和为 Sn, 则数列 Sn n{ }的前 10 项和为　 　 　 　 . 5. 若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn = An2 +Bn, 则该数列的 公差为　 　 　 　 . 7 6. 记 Sn 为等差数列{ an } 的前 n 项和, 已知 a1 = - 7, S3 = -15. (1)求{an}的通项公式; (2)求 Sn, 并求 Sn 的最小值. 8 参 考 答 案　 (2) 方法一: a1 = 9, d = - 2, Sn = 9n+ n(n-1) 2 ·( - 2) = -n2 +10n= -(n-5) 2 +25, ∴ 当 n= 5 时, Sn 取得最大值. 方法二: 由 (1) 知 a1 = 9, d = -2<0, ∴ {an }是递减数 列. 令 an≥0, 则 11-2n≥0, 解得 n≤ 11 2 . ∵ n∈N∗ , ∴ n≤ 5 时, an>0, n≥6 时, an<0, ∴ 当 n= 5 时, Sn 取得最大值. 变式训练 4　 解: (1) 在等差数列中, ∵ Sm, S2m -Sm, S3m - S2m 成等差数列, ∴ 30, 70, S3m -100 成等差数列, ∴ 2×70 = 30+(S3m-100), ∴ S3m = 210. (2) 设等差数列{an}的公差为 d, 则 Sn =na1 + 1 2 n(n-1)d, ∵ S7 = 7, S15 = 75, ∴ 7a1 +21d= 7, 15a1 +105d= 75, { 即 a1 +3d= 1, a1 +7d= 5, { 解得 a1 = -2, d= 1,{ ∴ Sn n =a1 + 1 2 (n-1)d= 1 2 n- 5 2 , ∴ Sn+1 n+1 - Sn n = 1 2 , ∴ 数列 Sn n{ } 是等差数列, 其首项为- 2, 公差为 1 2 , ∴ Tn = n× ( -2) +n(n -1) 2 × 1 2 = 1 4 n2 - 9 4 n. 1. A　 【解析】 ∵ an = 2- 3n, ∴ a1 = 2- 3 = - 1, ∴ Sn = n( -1+2-3n) 2 = - 3 2 n2 + n 2 . 故选 A. 2. A　 【解析】 设{an}的公差为 d, 则 a5 +a6 +a7 +a8 =S8 -S4 = 12, (a5 +a6 +a7 +a8 ) -S4 = 16d, 解得 d = 1 4 , a11 +a12 +a13 +a14 =S4 +40d= 18. 故选 A. 3. C　 【解析】 ∵ 对任意实数 m, n 都有 f(m+n)= f(m) +f(n) -35, f(1)= 31, 则 f(n+1)= f(n) +f(1) -35 = f(n) -4, ∴ f(n+1) -f(n)= -4, 故 { f(n)} 是以 31 为首项, 以-4 为公差的等差数列, ∴ f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)= 31n+n(n -1) 2 ×(-4)= -2n2+33n, 对称轴为 n= 33 4 . ∵ n∈N∗ , ∴ 当 n = 8 时, f(1) +f(2) + f(3) +…+f(n)取得最大值为 136. 故选 C. 4. 75　 【解析 】 ∵ an = 2n + 1, ∴ a1 = 3, ∴ Sn = n(3+2n+1) 2 =n2 +2n, ∴ Sn n = n+2, ∴ Sn n{ } 是公差为 1, 首项 为 3 的等差数列, ∴ 前 10 项和为 3×10+10 ×9 2 ×1 = 75. 5. 2A　 【解析】 数列{an } 的前 n 项和为 Sn = An2 +Bn, ∴ 当 n