5.1.2 数列中的递推-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册同步练习（人教B版）

5. 1. 2　数列中的递推 1. 数列 2, 4, 6, 8, 10, …的递推公 式是 (　 　 ) A. an =an-1 +2(n≥2) B. an = 2an-1(n≥2) C. a1 = 2, an =an-1 +2(n≥2) D. a1 = 2, an = 2an-1(n≥2) 2. 九连环是我国从古至今广泛流传的 一种益智游戏. 在某种玩法中, 用 an 表示 解下 n(n≤9, n∈N∗)个圆环所需移动的最 少 次 数. { an } 满 足 a1 = 1, 且 an = 2an-1 -1, n 为偶数, 2an-1 +2, n 为奇数, { 则解下 5 个圆环需最少 移动　 　 　 　 次. 3. 已知数列{an}满足: a1 = a2 = 1, an+2 =an+1 +an(n∈N∗), 若 1+a3 +a5 +a7 +…+a59 + a61 =ak, 则 k= (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2 021 B. 2 022 C. 62 D. 63 4. 在数列{ an } 中, a1 = 2, an+1an = an -1, a2 022 = (　 　 ) A. 2 B. 1 C. 1 2 D. -1 5. 为推动全民健身, 宣传天下泉城, 首届泉城(济南)马拉松赛于 2019 年 11 月 2 日在大明湖南门开赛. 如图 1, 2, 3, 4 分 别包含 1 个、 5 个、 13 个、 25 个首届泉城 马拉松赛的 LOGO “泉” . 按同样的方式构 造图形, 设第 n 个图形包含 an 个 “泉”, 则 当 n ≥ 2 时, an - an-1 = 　 　 　 　 , a10 = 　 　 　 　 . 　 … 第 5 题图 6. (多选题) 已知数列{an}中, a1 = 3, an+1 = - 1 an+1 (n∈N+), 则能使 an = 3 的 n 可 以为 (　 　 ) A. 4 B. 7 C. 15 D. 16 7. 已知数列{an} 满足 an+1 = ( - 1) nan + 2n, n∈N∗, 则 S10 = (　 　 ) A. 32 B. 50 C. 72 D. 90 8. (多选题) 若数列{an}满足 a1 = 1, a2 = 2, anan-2 = an-1(n≥3), 记数列{an} 的 前 n 项积为 Tn, 则下列说法正确的是 (　 　 ) A. Tn 无最大值 B. an 有最大值 C. T2 019 = 4 D. a2 019 = 2 9. (1) 已知数列{an}满足递推公式 an = n n+1 an-1(n≥2, n∈N∗ ), 且 a1 = 5, 则数 列{an}的通项公式为　 　 　 　 ; (2) 已知数列{an}中, a1 = 2, an+1 = an + 2 , 则 数 列 { an } 的 通 项 公 式 为　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4 10. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn . (1) 若 Sn =n2 +5n+8, 求 an; (2) 若 Sn =n·2n, 求 an . 11. 已知数列{an}中, a1 = 2, n(an+1 - an)= an +1, 若对于任意的 n∈N∗, 不等式 an+1 n+1 <t 恒成立, 则 t 的最小值是 (　 　 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12. 设{an}是无穷数列, 若存在正整数 k, 使得对任意的 n∈N+, 均有 an+k <an, 则 称{an } 是间隔递减数列, k 是{ an } 的间隔 数. 已知 an = -n2 +tn+9, 若{an}是间隔递减 数列, 且最小间隔数是 4, 则 t 的取值范围 是 (　 　 ) A. (4, 5] B. (5, 6] C. [4, 5) D. [5, 6) 13. 数列{ an } 满足递推公式 an+2 = an + an+1, 且 a1 =a2, a2 019·a2 020 = 2 020, 则 a21 + a22 +…+a22 019 = 　 　 　 　 . 14.