6.1.1 函数的平均变化率-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

第六章　 导数及其应用 6. 1　 导　 数 6. 1. 1　函数的平均变化率 1. 理解函数平均变化率的概念. 2. 会求函数的平均变化率. 3. 会利用平均变化率解决或说明生活 中的一些实际问题. 　 要点 1　 函数的平均变化率 对于函数 y= f (x), 从 x1 到 x2 的平均变 化率: (1) 自变量的改变量: Δx= x2 -x1; (2) 函数值的改变量: Δy= f(x2) -f(x1); (3) 平均变化率: Δy Δx = f(x2) -f(x1) x2 -x1 = f(x1 +Δx) -f(x1) Δx . 　 　 思考　 函数的平均变化率随着区间不 同是否变化? 例 1　 已知函数 f(x)= 3x2 +5. 求: (1) f(x)从 0. 1 到 0. 2 的平均变化率; (2) f(x)在区间 [x0, x0 +Δx] 上的平 均变化率. 解: (1) ∵ f(x) = 3x2 +5, ∴ 从 0. 1 到 0. 2 的平均变化率为 3×0. 22 +5-3×0. 12 -5 0. 2-0. 1 = 0. 9. (2) f(x0 +Δx) -f(x0) = 3(x0 +Δx) 2 +5-(3x20 +5) = 3x20 +6x0Δx+3(Δx) 2 +5-3x20 -5 = 6x0Δx+3(Δx) 2, ∴ 函数 f(x)在区间 [x0, x0 +Δx] 上的 平均变化率为 6x0Δx+3(Δx) 2 Δx = 6x0 +3Δx. 若函数 f(x) = x, g(x) = x2, h( x) = x3 在 [0, 1] 上的平均变化率分别记为 m1, m2, m3, 则下面结论正确的是 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. m1 =m2 =m3 B. m1 >m2 >m3 C. m2 >m1 >m3 D. m1 <m2 <m3 　 要点 2　 函数平均变化率的几何意义 如 图 所 示, 函 数 f(x) 在 区 间 [ x1, x2 ] 上的平均变化率, 就是 直线 AB 的斜率, 其中 A(x1, f ( x1 )), B ( x2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 39 f(x2)) . 事实上, kAB = f(x2) -f(x1) x2 -x1 = Δy Δx . 　 　 思考　 函数的平均变化率的几何意义 体现了什么数学思想? 图 6-1-1 例 2　 如图, 函数 y= f(x)在 [1, 5] 上的平均 变化率为 (　 　 ) A. 1 2 　 　 　 B. - 1 2 C. 2 D. -2 解析: Δy Δx = f(5) -f(1) 5-1 = 1-3 5-1 = - 1 2 . 故 选 B. 　 　 反思感悟 函数的平均变化率可正可负可为零, 反映函数 y= f(x)在 [x1, x2] 上变化的快 慢, 变化快慢是由平均变化率的绝对值决 定的, 且绝对值越大, 函数值变化得越快. 图 6-1-2 甲、 乙两厂污 水的排放量 W 与时 间 t 的关系如图所 示, 则治污效果较 好的是 (　 　 ) A. 甲厂 B. 乙厂 C. 两厂一样 D. 不确定 　 要点 3　 平均变化率与实际问题 从物理学中我们知道, 平均速度可以描 述物体在一段时间内运动的快慢, 如果物体 运动 的 位 移 x m 与 时 间 t s 的 关 系 为 x=h( t), 则物体在 [ t1, t2 ] ( t1 < t2 时) 这 段时间内的平均速度为 h( t2) -h( t1) t2 -t1 ( m / s) . 这就是说, 物体在某段时间内的平均速度等 于 x=h( t)在该段时间内的平均变化率. 　 　 思考　 一次函数 y= kx+b(k≠0)在区间 [m, n] 上的平均变化率有什么特点? 例 3　 已知某物体运动的位移 x m 是时 间 t s 的函数, 而且 t= 0. 1 时, x= 0. 25; t = 0. 5 时, x= 2. 25. (1) 求这个物体在时间段 [0. 1, 0. 5] 内的平均速度; (2) 估计出 t= 0. 2 时物体的位移. 　 　 分析　 平均速度即为函数的平均变化 率, 利用定义即可求解. 求出位移与时间 的函数关系, 代入 t 可计算位移. 解: (1) 所求平