【数学思想】第3讲：分类讨论思想在解析几何中的应用-备战2024高考二轮复习讲义

第3讲 分类讨论思想在解析几何中的应用 在解答某些数学问题时。有时会遇到很多情况，需要对各种情况加以分类，并逐步求解，然后综合理解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法。是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零，积零为整的思想，与归类整理的方法有关。分类讨论思想在数学问题具有明显的。逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理和概括性。 解析几何中的分类讨论思想涉及到直线的方程、圆与圆的位置关系，圆锥曲线的概念以及性质等问题。也是高考常考查的知识点。 【应用一】分类讨论思想在直线、圆中的应用 1、直线方程的几种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含垂直于坐标轴的直线 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 2、圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0). 　方法 位置关系　　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 3、 直线与圆的位置关系 三种位置关系：相交、相切、相离． 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ0 Δ0 Δ0 几何观点 dr dr dr 【例1.1】（2023四川南充高三模拟）过作圆的切线，则其切线方程为____________. ． 【思维提升】涉及到直线的方程问题。若设直线的点斜式、斜截式方程必须考虑直线的斜率是否存在，特别是直线与圆的位置关系是要验证斜率不存在的情况。这种问题也是经常考查也是学生最容易丢分的问题。 【变式1.1】（2023·山西·统考一模）经过,,三点的圆与直线的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．无法确定 【变式1.2】（2022年重庆市第八中学高三模拟试卷）若直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 或6 【变式1.3】 （202江苏扬州中学期中）（多选题）已知圆：，圆：，下列直线中，与圆，都相切的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.4】（2022·辽宁鞍山·高二期中）过点引圆的切线，则切线的方程为（    ） A．或 B． C．或 D． 【应用二】分类讨论思想在圆锥曲线定义中的应用 1、 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数． (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 2、 双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0. (1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线； (2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线； (3)当a＞c时，点P不存在． 3、抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 【例2.1】（四川省双流中学2022年高三上学期期中）设定点，，动点满足条件（为常数，且），则点的轨迹是______. 【思维提升】涉及到圆锥曲线的定义问题一定要考虑定义要满足的条件，否则轨迹就不一定是圆锥曲线，如椭圆中忽略条件就有可能轨迹是线段，或者不存在。在求圆锥曲线的方程式特别是椭圆、双曲线要判断焦点在x轴，还是y轴。否则就要讨论。 【变式2.1】（福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学期中联考）（多选题）在平面直角坐标系中，有两个圆：和：，其中常数满足，一个动圆与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是（ ） A．两个椭圆 B．两个双曲线 C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线 【变式2.2】（2022宁夏隆德高三期末）若椭圆的对称轴是坐标轴，长轴长为，焦距为，则椭圆的方程（ ） A． B． C．或 D．以上都不对