第十五题 函数的零点问题-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（新高考Ⅰ卷专用）

第十五题 函数的零点问题 高考真题 15. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 知识点总结 1. 利用导数研究函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路： (1) 可转化为用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题； (2) 涉及两函数的交点：利用数形结合思想方法，通过图象可清楚地数出交点的个数(即零点，根的个数)或者确定参数的取值范围． 2．已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法： (1) 分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数的取值范围．通用解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数的取值范围； (2) 分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数的取值范围．通用解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数的取值范围． 题型展示 求函数零点的个数 已知函数f(x)＝(x－1)lnx－x－1. (1) 求证：f(x)存在唯一的极值点； (2) 求证：f(x)＝0有且仅有两个实数根，且两个实数根互为倒数． (2022·龙岩质检)已知函数f(x)＝3xlnx＋1，判断函数f(x)的零点个数． 根据函数零点求参数 已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3(a为实数)，若方程g(x)＝2f(x)在区间上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围． 真题演练 一、单选题 1．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．关于的方程，给出下列四个命题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 4．设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是 A． B． C． D． 5．函数f(x)=的零点所在的一个区间是 A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2） 6．方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内 A．没有根 B．有且仅有一个根 C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根 7．已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 9．已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 A． B． C． D． 10．已知函数有唯一零点，则 A． B． C． D．1 二、填空题 11．已知函数f（x）=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是 ． 12．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ． 13．若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 ． 14．已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 模拟训练 一、单选题 1．方程的根所在区间是（    ） A． B． C． D． 2．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知函数在区间上有三个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知是函数的一个零点，若，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 5．已知函数（），点位于曲线的下方，且过点可以作3条直线与曲线相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．函数的零点所在的大致区间为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数解，则下列选项中可以作为实数取值范围的有（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，下列结论正确的是（    ） A．若，则有2个零点 B．若，则有3个零点 C．存在负数，使得只有1个零点 D．存在负数，使得有3个零点 三、填空题 9．已知函数有三个零点，且它们的和为0，则的取值范围是 . 10．已知函数，，则函数的零点是 ． 11．已知函数，若存在，满足，则的取值范围为 . 12．已知函数（），若在上有零点，则实数的取值范围为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）