第十七题 解三角形-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（新高考Ⅰ卷专用）

第十七题 解三角形 高考真题 17. 已知在中，． （1）求； （2）设，求边上的高． 知识点总结 1. 正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 　 ＝ ＝ 　＝2R a2＝ ；b2＝ ； c2＝ 变形 形式 1 a＝　 　，b＝　 　， c＝　 　； 2 sinA＝　 ，sinB＝　 　， sinC＝　 　(其中R是△ABC外接圆的半径)； 3 a∶b∶c＝　 　； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA＝ ；cosB＝ ； cosC＝　 　 解斜三 角形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 2. 三角形常用面积公式 (1) S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2) S＝absinC＝acsinB＝bcsinA. 3. 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsinA bsinA<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 4. 仰角和俯角：在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角，如图(1)． 图(1) 　　图(2) 5. 方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角，如B点的方位角为α，如图(2)． 6. 方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等． 7. 常用结论 (1) 在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，且大边对大角，大角对大边，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB. (2) 在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，sin＝cos等． (3) 射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB，b＝acosC＋ccosA，c＝bcosA＋acosB. 题型展示 正、余弦定理的直接应用 (2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)． (1) 求证：2a2＝b2＋c2； (2) 若a＝5，cosA＝，求△ABC的周长． 1. 在解三角形中，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.2. 三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不确定性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 利用正、余弦定理判断三角形的形状 若△ABC的三个内角满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则△ABC是(　 　) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的取值范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 和三角形面积有关的问题 (1) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为(　 　) A. B. C. D. 2 (2) 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，b＝2，则△ABC面积的最大值为(　 　) A. 3 B. 2 C. 3 D. 2 (1) 三角形面积公式S＝absinC＝acsinB＝cbsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2) 与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 正、余弦定理综合应用 (2022·茂名一模)如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东75°距离 60n mile 处，小岛B北偏东15°距离(30－30)n mile处有一个小岛C. (1) 求小岛A到小岛C的距离； (2) 如果有游客想直接