第十六题 圆锥曲线的性质-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（新高考Ⅰ卷专用）

第十六题 圆锥曲线的性质 高考真题 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 知识点总结 1.椭圆的定义 满足下列两个条件: (1)在同一个平面内动点P和两个定点F1,F2; (2)|PF1|+|PF2|为 ,且|PF1|+|PF2|> ,动点P的轨迹为椭圆. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 范围 x∈[-a,a], y∈[-b,b] x∈[-b,b], y∈[-a,a] 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0) 离心率 e=,且e∈ a,b,c关系 c2= 3.双曲线的定义 满足下列两个条件 (1)在同一个平面内动点P和两定点F1,F2; (2)||PF1|-|PF2||为定值,且0<||PF1|-|PF2||<|F1F2|的动点P的轨迹为双曲线. 4.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 图形 性质 范围 x≤-a或x≥a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R 对称性 对称轴: 　　对称中心: 顶点 顶点坐标: A1 , A2 顶点坐标: A1 , A2 渐近线 y=±x y=±x 性质 离心率 e=,e∈(1,+∞) a,b,c关系 c2= 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|= ; 线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|= ; a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 等轴双曲线 ①定义:中心在原点,以坐标轴为对称轴,实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线. ②性质:a=b;e=;渐近线互相垂直;等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项 5．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内； (2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等； (3)定点不在定直线上． 其中点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 6．抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 图形 顶点 O 对称轴 焦点 F(，0) F(－，0) F(0，) F(0，－) 离心率 e＝ 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 P(x0，y0) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 题型展示 椭圆定义的应用 (1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A.13 B.12 C.9 D.6 (2)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M在椭圆上,若|MF1|=4,则∠F1MF2=( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等. (2)通常定义和余弦定理结合使用,求解关于焦点三角形的周长和面积问题. 椭圆的标准方程 (1)在△ABC中,A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长是18,则顶点C的轨迹方程是 (　 　) A.+=1(y≠0) B.+=1(y≠0) C.+=1(y≠0) D.+=1(y≠0) (2)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程是 (　 　) A.-=1 B.+=1 C.-=1 D.+=1 （3）过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为　 　.  椭圆的