第十九题 导数及其应用-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（新高考Ⅰ卷专用）

第十九题 导数及其应用 高考真题 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 知识点总结 1. 导数的几何意义 (1) 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)． (2) 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为　 　. 2. 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝　 　 f(x)＝xα(α是实数) f′(x)＝　 　 f(x)＝sinx f′(x)＝　 　 f(x)＝cosx f′(x)＝　 　 f(x)＝ex f′(x)＝　 f(x)＝ax(a＞0) f′(x)＝　 　 f(x)＝lnx f′(x)＝　 　 f(x)＝logax(a＞0，a≠1) f′(x)＝　 　 3. 导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则： (1) [f(x)±g(x)]′＝　 　； (2) [f(x)·g(x)]′＝　 　； (3) ′＝ 　(g(x)≠0)． 4. 复合函数的求导：复合函数y＝f(g(x))的导数y′＝　 　. 5. 设s＝s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在t＝t0时刻的　 　; 设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的　 　. 6. 函数的单调性 设函数y＝f(x)在某个区间内可导，若f′(x)　 　0，则f(x)为增函数，若f′(x)　 　0，则f(x)为减函数． 7. 求可导函数f(x)单调区间的步骤： (1) 确定f(x)的 　； (2) 求导数f′(x)； (3) 令f′(x)　 　0(或f′(x)　 　0)，解出相应的x的取值范围； (4) 当　 　时，f(x)在相应区间上是增函数，当　 　时，f(x)在相应区间上是减函数． 8．导数与函数的极值 (1)函数的极小值与极小值点 若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值 ，f′(a)＝0，而且在x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值与极大值点 若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值 ，f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 9．导数与函数的最值 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)上的极值． ②将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中 的一个是最大值， 的一个是最小值． 题型展示 导数的运算 (1) 已知f(x)＝(ax2＋1)(x＋2)，若f′(－1)＝4，则a的值为　 　. (2) 下列求导运算不正确的是(　 　) A. (cosx)′＝－sinx B. (tanx)′＝ C. (2x)′＝ln2·2x D. ()′＝－ (3) (2022·武汉模拟)已知函数f(x)＝f′(0)e2x－e－x，则f(0)＝　 　. 求曲线的切线方程 (1) (2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( 　) A. y＝－2x－1 B. y＝－2x＋1　　 C. y＝2x－3　 D. y＝2x＋1 (2) (2022·秦皇岛二模)已知函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝lnx－e1－x，则曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为(　 　) A. y－e2＋1＝0 B. y＋1＝0 C. (e2－1)x－y＋e2－2＝0 D. 2x＋y＋3＝0 求曲线f(x)经过点P(x0，y0)的切线方程的方法：设切点坐标为(a，f(a))，则切线方程为y－f(a)＝f′(a)(x－a)，代入点P(x0，y0)的坐标，求出a的值，可得切线方程．注：在做此类题目