第十八题 空间向量与立体几何-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（新高考Ⅰ卷专用）

第十八题 空间向量与立体几何 高考真题 18. 如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 知识点总结 1. 空间向量中的有关定理 (1) 共线向量定理 空间中两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得 　 . (2) 共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：　 　，其中x，y∈R，a，b为不共线的向量． (3) 空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间中任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得　 　，{a，b，c}叫做空间中的　 　. 2. 空间向量的数量积 (1) 两向量的夹角：若两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记做〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π.若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记做a⊥b. (2) 两向量的数量积：若空间中两个非零向量a，b，则|a|·|b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记做a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 3. 空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐标表示 数量积 a·b 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 4. 两个重要向量 直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有　 　个 平面的法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有 个，它们是共线向量 5. 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔m·n＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 6. 常用结论 (1) 在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． (2) 在利用＝x＋y证明MN∥平面ABC时，必须说明点M或点N不在平面ABC内． 题型展示 空间向量的线性运算 如图，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c.点M在OA上，OM＝2MA，N是BC的中点，则＝　 　(用a，b，c表示)． 用已知向量表示未知向量的解题策略： (1) 要结合图形，以图形为指导是解题的关键； (2) 要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义； (3) 三角形法则、向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立． 空间向量的数量积的运算及应用 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝，∠BAA1＝∠DAA1＝45°，∠BAD＝60°，则||＝_ . 利用向量解决立体几何问题时，也可以将几何问题转化成向量问题，或通过建立空间直角坐标系利用向量的坐标进行求解，然后代入向量数量积公式进行相关计算和证明． 利用空间向量证明平行问题 (2022·江苏百校联考)已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，E，F分别为AC和AB上的点，且AE＝1，EF∥BC，如图(1)．沿EF将△AEF折起使平面AEF⊥平面BCEF，连接AC，AB，如图(2)．已知M为棱AC上一点，试确定M的位置，使EM∥平面ABF. 　　 图(1)　　　　　　图(2) 证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可． 利用空间向量证明垂直问题 如图，已知四棱锥P －ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD. (1) 求证：PA⊥BD； (2) 求证：平面PAD⊥平面PAB. 用向量证明垂直的方法：(1) 线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直；(2) 线面垂直：证明直线的方向向量与平