第二十题 数列-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（新高考Ⅰ卷专用）

第二十题 数列 高考真题 20. 设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若，求的通项公式； （2）若为等差数列，且，求． 知识点总结 1. 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与　 　之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 2. an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ 3. 数列的递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 由递推公式求通项的常用方法： 方法 转化过程 适合题型 累加法 (a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an－a1 an＋1－an＝f(n)，f(n)可求和 累乘法 ××…××＝ ＝f(n)，f(n)可求积 构造法 由an＋1＝pan＋q化为an＋1＋m＝p(an＋m)，构造{an＋m}为等比数列，其中m＝ an＋1＝pan＋q　 取倒数法 an＝取倒数得＝·＋，令bn＝ an＝ 取对数 对an＝pa取对数得lg an＝rlg an－1＋lg p，令bn＝lg an an＝pa(n≥2，p>0) 4. 等差数列的有关概念 (1) 定义：如果一个数列从　 　起，每一项与它的前一项的差都等于　 　，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为　 　 (n∈N*，d为常数)． (2) 等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是　 　，其中A叫做a，b的等差中项． 5. 等差数列的有关公式 (1) 通项公式：an＝　 　； (2) 前n项和公式：Sn＝　 　＝　 　. 6. 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1) 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d (n，m∈N*)； (2) 若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an； (3) 若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d； (4) 若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列； (5) 数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． 7. 关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 (1) 若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝； (2) 若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝. 8. 两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝. 9. 等比数列的有关概念 (1) 定义 如果一个数列从第　 　项起，每一项与它的前一项的比等于　 　 (不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的　 　，通常用字母q表示，定义的表达为　 　. (2) 等比中项 如果a，G，b成等比数列，那么　 　叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔　 　. 10. 等比数列的有关公式 (1) 通项公式：an＝　 　； (2) 前n项和公式：Sn＝ 11. 等比数列几个常用结论 已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)． (1) 若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a； (2) 数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列； (3) 数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)； (4) 若项数为2n，则＝q； 若项数为2n＋1，则＝q. 12. 分组求和法 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列进行求和． 13. 分组求和法的常见类型 14. 错位相减法求和 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法．如：{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求a1b1＋a2b2＋…＋anbn的和． 15. 裂项相消法常用的裂项技巧 (1) ＝； (2) ＝(－)． 题型展示 由数列的前几项求数列的通项公式 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1) 1，－，，－，…； (2) 2,0,2,0，…. 已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考虑： (1) 负号用(－1)n与(－1)n＋1或(－1)n－1来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错． (2) 公式形式的数列，分子、分母找通项，要充分借助分子、分母的关系． (3) 对于比较复杂的通项公式，要借助于等差