第06讲 因式分解的应用-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学上册同步学与练（人教版）

第06讲 因式分解的应用 课程标准 学习目标 ①分组分解法 ②实数范围内因式分解 ③因式分解的应用 1. 能够对式子进行分组，然后在利用相应的分解方法进行分解。 2. 能够在实数范围内进行分解因式。 3. 能够熟练的运用因式分解进行求值，化简，证明等。 知识点01 分组分解因式 1. 分组分解因式： 对于四项或者超过四项的多项式分解时，我们通常要对其进行分组，使其分在同一组的项能够使用提公因式法或公式法或者式子相乘法进行分解。从而达到对整个多项式进行分解的目的。 考点题型：①分组分解因式。 【即学即练1】 1．把1﹣a2﹣b2﹣2ab分解因式，正确的分组为（　　） A．1﹣（a2+b2+2ab） B．（1﹣a2）﹣（b2﹣2ab） C．（1﹣2ab）+（﹣a2﹣b2） D．（1﹣a2﹣b2）﹣2ab 【即学即练2】 2．因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为（　　） A．（a﹣b）2（a+b） B．（a+b）2（a﹣b） C．ab（a+b）2 D．ab（a﹣b）2 【即学即练3】 3．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b） ＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b） ＝（2﹣3b）（a﹣2） 解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b） ＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2） ＝（a﹣2）（2﹣3b） 小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 请你也试一试利用分组分解法进行因式分解： （Ⅰ）因式分解：x2﹣a2+x+a； （Ⅱ）因式分解：ax+a2﹣2ab﹣bx+b2． 知识点02 实属范围内分解因式 1. 实数范围反内分解因式： 一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式，实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围，既可以用无理数来表示。 题型考点：①实数范围内分解因式。 【即学即练1】 4．把下列各式在实数范围内分解因式： （1）a2﹣7； （2）x3﹣2x； （3）a2﹣2a+3； （4）x4﹣25． 【即学即练2】 5．在实数范围内分解因式：x3﹣x2﹣2x+2． 【即学即练3】 6．在实数范围内分解下列因式： （1）y4﹣6y2+5； （2）x2﹣11； （3）a2﹣2a+3； （4）5x2﹣2． 知识点03 因式分解的综合应用 1. 因式分解的步骤： 第一步：观察式子是否有公因式可提。若有公因式，则先用公因式进行因式分解。 第二步：观察式子项数： ①若式子是两项，则观察是否具有平方差公式的特点，若具有平方差公式的特点则用平方差公式分解，若不具有则不能分解。 ②若式子是三项，则观察是否具有完全平方公式的特点，如果具有完全平方公式的特点则用完全平方公式分解。若不具有完全平方公式的特点则观察是否可用十字相乘法分解，若能则用十字相乘法分解，若不能用十字相乘法分解则多项式不能分解。 因式分解一定要分解彻底，即无论用什么方法都不能再继续分解。 题型考点：①分解因式。 【即学即练1】 7．分解因式： （1）4（3m+2n）2﹣9（m﹣n）2； （2）x4+5x2﹣36； （3）x3y﹣2x2y2+3x﹣6y； （4）（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12； （5）4x4+12x3+13x2+6x+1； （6）y（y+1）（x2+1）+x（2y2+2y+1）． 【即学即练2】 8．分解因式： （1）8a3b2+28ab3c； （2）a4﹣64； （3）x2+（2a+3）x+（a2+3a）； （4）4x2+4xy+12x+6y+y2+8． 知识点04 因式分解的综合应用 1. 因式分解的综合应用： 利用因式分解解决求值问题。 利用因式分解解决证明问题。 利用因式分解解决计算问题。 题型考点：①因式分解的实际应用。 【即学即练1】 9．若a+b＝3，x+y＝1，则代数式a2+2ab+b2﹣x﹣y+2015的值是（　　） A．2019 B．2017 C．2024 D．2023 【即学即练2】 10．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+2b2+c2＝2ab+2bc，那么据此判断△A