专题2-10 椭圆解答题十一大题型汇总-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高二数学同步精讲精练（人教B版2019选择性必修第一册）

专题2-10椭圆解答题十一大题型汇总 题型1弦长问题 1 题型2求直线方程问题 2 题型3面积问题 4 题型4中点弦问题 5 题型5取值范围问题 6 题型6最值问题 8 题型7定点问题 10 题型8定值问题 12 题型9定直线问题 14 题型10向量相关问题 15 题型11探索性问题 17 题型1弦长问题 【方法总结】 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． 【例题1】（23·24上·常德·期中）已知椭圆的长轴长为，是上一点. (1)求E的方程； (2)若是上两点，且线段的中点坐标为，求的值. 【变式1-1】1. （23·24上·东莞·阶段练习）如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且，当P点在圆上运动时，点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)曲线C交y轴正半轴于点A，直线l过点A且其方向向量为，直线l与曲线C交于点A、B，求A、B两点间的距离. 【变式1-1】2. （22·23下·成都·期末）已知椭圆：的离心率为，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合． (1)求椭圆的方程； (2)若直线：与椭圆交于不同的A，B两点，且满足（为坐标原点），求弦长的值． 【变式1-1】3. （22·23下·全国·模拟预测）已知平面内动点M到两定点E，F的距离之和为4，且E，F两点间的距离为2． (1)以点E，F所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求点M的轨迹C的方程． (2)直线l过点F，交曲线C于A，B两点，AB的中点为（异于坐标原点O）．若点Q的坐标之和，求弦AB的长． 【变式1-1】4. （23·24上·哈尔滨·阶段练习）已知椭圆C：与椭圆有相同的焦点，过椭圆C的右焦点且垂直于x轴的弦长度为1． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于A，B两点，若，求实数m的值． 题型2求直线方程问题 【例题2】（22·23下·广州·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过点且与轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点，且的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与轴正半轴交于点，与曲线交于点，轴，过点的另一直线与曲线交于，两点，若，求所在的直线方程. 【变式2-1】1. （22·23上·哈尔滨·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过点与轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点，且的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与轴正半轴交于点，与椭圆交于点，且轴，过点的另一直线与椭圆交于、两点，若，求所在的直线方程． 【变式2-1】2. （16·17·咸阳·三模）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点． (1)求椭圆C的方程； (2)已知点M，且MN⊥PQ，求线段MN所在的直线方程． 【变式2-1】3. （20·21下·漳州·阶段练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点、，点的坐标为，且的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)是否存在直线与椭圆相交于、两点，使得直线与的斜率之和为？若存在，求此时的直线方程；若不存在，请说明理由． 【变式2-1】4. （20·21下·全国·模拟预测）椭圆，离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2），是椭圆上、下顶点，过点的直线交椭圆于异于，的，两点，若，交于点，点的纵坐标为，求的直线方程． 题型3面积问题 【例题3】（23·24上·和平·期中）在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是. (1)求动点的轨迹方程. (2)若为动点的轨迹上一点，且，求三角形的面积. 【变式3-1】1. （22·23下·保山·期中）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在轴上，离心率，且________．在①过点；②过焦点且垂直于长轴的弦的长度为1；③长轴长为4；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答． (1)求椭圆的标准方程； (2)过右焦点F的直线l交椭圆于P、Q两点．当直线l的倾斜角为时，求的面积． 【变式3-1】2. （23·24上·巴中·开学考试）已知椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右焦点为，过点斜率不为0的直线交椭圆于两点，记直线与直线的斜率分别为，当时，求： ①直线的方程； ②的面积． 【变式3-1】3. （23·24上·巴中·开学考试）已知椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上，且. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右焦点为，过点斜率不为0的直线交椭圆于两点，记直线与直线的斜率分别为，