第4章 幂函数、指数函数、对数函数 单元综合检测（难点）-2023-2024学年高一数学上学期单元复习重难点突破【上海名校地市好题】（沪教版2020必修第一册）

第4章 幂函数、指数函数、对数函数 单元综合检测（难点） 一、填空题 1．已知，，则m，n之间的大小关系是 2．已知是定义在R上的偶函数，当且时，总有，则不等式的解集为 ． 3．函数的最小值为 . 4．设函数是定义在上的单调函数，若对于任意的，都有成立，则不等式的解集为 . 5．函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为 ． 6．若关于的不等式的解集为，则实数的最小值为 . 7．已知函数是上的奇函数，当时，，若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是 . 8．设且，若在平面直角坐标系xOy中，函数与的图像于直线l对称，则l与这两个函数图像的公共点的坐标为 ． 9．已知函数的表达式为，若对于任意，都存在，使得成立，则实数的取值范围是 . 10．设集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，P中函数的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是 ． 11．已知函数的值域是，当时，实数m的取值范围是 ． 12．函数的定义域为，满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“优美函数”，若函数是“优美函数”，则的取值范围是 . 二、单选题 13．已知函数，设为实数，且．给出下列结论：（1）关于中心对称；（2）存在，使得，则（    ） A．（1）与（2）均正确 B．（1）与（2）均错误 C．（1）正确（2）错误 D．（1）错误（2）正确 14．函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 15．设函数，的定义域分别为、，且.若对任意的，都有，则称为在上的一个“延拓函数”.已知函数（），若为在上一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 16．已知函数（是自然对数的底数）的最小值为0，关于有如下4个命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则；     ④若，则. 其中真命题的个数为（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 三、作图题 17．已知幂函数的图象关于点中心对称; (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在直角坐标系中做出函数的图像； (3)根据中图像，直接写出不等式的解集， 18．某城市2023年1月1日的空气质量指数（简称AQI））与时间x（单位：小时）的关系满足下图连续曲线，并测得当天AQI的最大值为103．当时，曲线是二次函数图像的部分；当时，曲线是函数图像的一部分．根据规定，空气质量指数AQI的值大于或等于100时，空气就属于污染状态． (1)求当时，函数的表达式； (2)该城市2023年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由． 19．已知函数，，，其中均为实数. (1)若函数的图像经过点，，求的值; (2)如果函数的定义域和值域都是，求的值. (3)若满足不等式，且函数在区间上有最小值，求实数a的值. 20．已知函数的表达式为，其中、为实数. (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若方程有一个根为，且、为正数，求的最小值； (3)若函数在区间上是严格减函数，试确定实数的取值范围，并证明你的结论. 21．若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”， (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由； (2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 幂函数、指数函数、对数函数 单元综合检测（难点） 一、填空题 1．已知，，则m，n之间的大小关系是 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及指数函数性质，借助媒介数比较大小即可. 【解析】当时，，当且仅当，即时取等号， 而当时，，又在上单调递增，因此， 所以. 故选： 2．已知是定义在R上的偶函数，当且时，总有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用单调性与奇偶性解不等式． 【解析】因为当且时，总有， 即当时，，所以是上的减函数， 又，则是偶函数，且在上递减， 不等式即为，也即， 所以，，， 故答案为：． 3．函数的最小值为 . 【答案】12 【分析】根据函数的定义域，讨论的不同取值，去绝对值，再根据函数的单调性求函数的最小值. 【解析】函数的定义域需满足，即，即定义域为， 当时，， 函数在区间单调递减，当时，