第二章 直线与圆的方程（知识清单）（18个考点梳理+典型例题+变式训练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（人教A版2019选择性必修第一册）

第二章 直线与圆的方程（知识清单）（18个考点梳理+典型例题+变式训练） 【知识导图】 【知识清单】 考点1.直线方程的几种形式 【例1】　(1)一条直线经过点(2,5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________． (2)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________． (1)y－5＝x－2　(2)x＝－5　[(1)因为倾斜角为45°， 所以斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2. (2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x＝－5.] 【变式】分别求出经过点P(3,4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率k＝2；(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直． [解]　(1)由点斜式方程得 y－4＝2(x－3)． (2)与x轴平行时，k＝0， ∴y－4＝0×(x－3)，即y＝4. (3)与x轴垂直，斜率不存在，方程为x＝3. 【例2】　根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. [解]　(1)由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5. (2)因为倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得直线方程为y＝－x－2. (3)因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3. 【变式】已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． [解]　设直线方程为y＝x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b. 由已知可得·|b|·|－6b|＝3， 即6|b|2＝6，∴b＝±1. 故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1. 【例3】(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________． (2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________. (1)x＝2　(2)－2　[(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2. (2)由直线方程的两点式得 ＝， 即＝. ∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2， ∵点P(3，m)在直线AB上， 则m＋1＝－3＋2，得m＝－2.] 【变式】求经过两点A(2，m)和B(n,3)的直线方程． [解]　当m＝3时，直线垂直于y轴，方程为y＝3， 当n＝2时，直线垂直于x轴，方程为x＝2. 当m≠3且n≠2时，由两点式得 直线方程为＝. 【例4】求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程． [解]　设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b. ①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1. ∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1， 若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y－1＝0. ②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x＋4y＝0. 综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或3x＋4y＝0. 考点2.灵活选择直线方程的几种形式 求直线方程常用的方法是直接法和待定系数法，但在待定条件下，应考虑下面的设法。 （1）已知直线的纵截距，常设方程的斜截式； （2）已知直线的横截距和纵截距，常设方程的截距式（截距均不为0）； （3）已知直线的斜率和所过的定点，常设方程的点斜式，但如果只给出一个定点，一定不要遗漏斜率不存在的情况； （4）仅知道直线的横截距，常设方程形式：（其中是横截距，m是参数），注意此种设法不包含斜率为0的情况，且在后面要学的圆锥曲线章节中经常使用。 如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式（A,B不同时为0.) 【例5】　已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中， (1)求BC边的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． [解]　(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0， 故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)． (2)设BC的中点为M(a，b)， 则a＝＝，b＝＝－3， 所以M， 又BC边的中线过点A(－3,2)， 所以＝，即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 考点3.利用直线方程判定直线的位置关系 【例6】　(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ [解]　(1)由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－