圆锥曲线的轨迹方程的求法（专项练习）高考复习专题：圆锥曲线(含答案)

典型圆锥曲线复习专题 圆锥曲线的轨迹方程的求法（专项练习） 高考复习专题：圆锥曲线(含答案) 圆锥曲线的轨迹方程，实质上是点经过运动所形成的几何图形轨迹，是动点按照一定的规律运动形成的。可以利用它的定义或者设参数等方法来求解出圆锥曲线的轨迹方程。圆锥曲线的轨迹方程一直是高考的常考点。 类型一：直接法 1、已知点P是椭圆 + =1上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点N(x,y）的轨迹方程为 。 2、已知点P(x，y)到定点M(0, )的距离比它到x轴的距离大，则点P的轨迹C的方程为 。 类型二、定义法 3、已知定点P（-4,0）和定圆Q：x2+y2=8x，动圆M和圆Q外切，且经过点P，则圆心M的轨迹方程 4、已知P是圆A:(x-1)2 +y2=16上的动点，M是线段AP上一点，B（-1,0)，且|PM|=|MB|，则点M的轨迹方程为 。 5、已知圆C1：x2+（y+3)2=9和圆C2：x2+（y-3)2=1，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为 。 类型三、相关点法 6、设A、B分别是直线y=2x和y=-2x上的动点，且满足|AB|=4，则AB的中点M的轨迹方程为 。 7、已知△ABC的顶点B（-3，0），C（1，0），顶点A在抛物线y=x2上运动，则△ABC的重心G的轨迹方程为 。 类型四、利用韦达定理求圆锥曲线的轨迹方程 8、已知椭圆E： + =1的离心率是，其左右顶点分别是A、B，且|AB|=4. （1）求椭圆E的标准方程； （2）已知点M、N是椭圆E上异于A、B的不同两点，设点P是以AM为直径的圆O1和以AN为直径的圆O2的另一个交点，记线段AP的中点为Q，若kAMkAN= -1，求动点Q的轨迹方程。 【参考答案】 类型一：直接法 1、【解答】 ∵PM⊥x轴，且PM的中点为N（x，y)， ∴P（x，2y)， ∵P是 + =1上任意一点， ∴ + =1， 即 + =1 2、【解答】 依题意 ① , 两边平方得 ② 两边平方得 整理得，即，可得x2=2y或x=0， 当x=0时，②转化为 ∴≤0， ∴， 此时①转化为， 即， ∴ ∴P点的轨迹C的方程为x2=2y或x=0(y≤0) 【方法技巧】 利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下： （1）设点：设所求动点的坐标为(x，y)。 （2）列式：根据题目中的已知条件，列出等量关系。 （3）代换：把已知条件中所列出的等量关系“翻译”成含有x、y的等式，并将其化简整理，这样就可得到曲线的轨迹方程了。 （4）必要的时候，还要根据题目条件说明清楚x、y的取值范围。 （5）注意：如果求的是动点的轨迹，那么不但要求出动点的轨迹方程，还需要说明轨迹是什么曲线。 类型二、定义法 3、【解答】 圆Q化简为（x-4）2+ y2=16,圆心Q（4,0),半径为4，如图： ∵动圆M与圆Q外切， ∴|MQ|=r+4=|MP|+4 ∴|MQ|-|MP|=4<|PQ|=8， 根据双曲线定义知，动点M的轨迹是以P、Q为焦点的双曲线的左支， ∵|PQ|=8,即2c=8， ∴c=4， ∵2=4， ∴=2， ∴b＝= ， ∴M的轨迹方程为 (x≤-2) 4、【解答】 由题意知A(1，0)，|PA|=4 ∵|PM|=|MB|， ∴|MA|+|MB|=|MA|+|PM|=|PA|=4>|AB|=2 ∴点M的轨迹是以A、B为左、右焦点，长轴长为4的椭圆。 ∵=2，c=1，∴b＝ ∴点M的轨迹方程为 + =1 5、【解答】 设动圆M的半径为r，圆C1的半径为r1=3，圆C2的半径为r2=1，圆心C1(0,－3),C2(0,3) 设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B， |MA|=|MB|=r ∵|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB| 两式相减得：（|MC1|-|AC1|）-（|MC2|-|BC2|）=0 ∴|MC1|-|MC2|=|AC1|-|BC2|=3-1=2 < C1C2=6 ∴动点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的上支 ∵=1，c=3， ∴b2=8，设点M的坐标为(x,y) ∴动圆的圆心M轨迹方程为 【方法技巧】 1、定义法适用于题目条件中可以知道曲线的轨迹类型，从而利用条件把待定系数求出来，使问题得以求解。 2、运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可以从圆锥曲线的第一定义出发，直接写出圆锥曲线的标准方程；或者从圆锥曲线的定义出发，建立符合题意的等量关系式，从而求出动点的轨迹方程。 （1）平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a>|F1F2|)的动点的