1.3.1 二项式定理复习课导学案——2022-2023学年高二上学期数学人教A版选修2-3

二项式定理复习课 一、概念复习回顾 1. ________________， ______________________， ________________。 2. = _________________________________ ，展开式共有_____项，展开式的各项的次数都等于二项式的指数____________，展开式中第k+1项为__________________。 3. 的展开式中第k项为__________________。 4. 展开式中各二项式系数之和为________________________，奇数项二项式系数之和为_______ ，偶数项二项式系数之和为______ 。 5. 展开式共有_____项，展开式中各二项式系数的最大值为_________ ，二项式系数之和为_____________，展开式中，各二项式系数取得最大值时为第____________ 项。 二、练习 1．求的展开式. 【详解】 2．在的展开式中,求： （1）第3项的二项式系数； （2）第3项的系数； （3）第3项； （4）常数项。 【详解】 二项式的通项公式为：. (1) 第3项的二项式系数为, (2) 第三项的系数为； (3) 第三项为； (4) 常数项 则常数项为-160 3．在的展开式中，含项的系数为__________. 【详解】 展开式中通项为：， 在的展开式中， 含项的系数为：. 故答案为：. 4．已知． （1）求； （2）求； （3）求． 【详解】 （1）令可得． （2）令可得， 故． （3）取，得，① 又，② ②-①得， 则． 【点睛】 本题考查赋值法求系数和，属于基础题. 5．已知. （1）求； （2）求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）赋值法，令即可求得答案； （2）利用平方差公式和（1）的结论即可得出答案 【详解】 （1）∵， 令，得. （2）令，得， 所以 . 【点睛】 方法点睛：对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式中各项系数之和，只需令即可. 6．在的展开式中，求： （1）所有项的系数和； （2）的系数； （3）系数最大的项. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【详解】 （1）令，该展开式中所有项的系数和为. （2）该展开式的通项公式为，， 令，解得， 故的系数为. （3）设第项的系数最大， 则， 解得， 又， 所以， 故该展开式中系数最大的项为. 7．已知的展开式中，前三项的系数成等差数列. （1）求n； （2）求展开式中的有理项； （3）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）8；（2），，；（3），. 【分析】 （1）根据展开式的通项公式，再根据等差中项的性质即可求出的值。 （2）根据展开式的通项公式，的指数为整数可得有理项. （3）用通项作前后项的比，可得系数最大项. 【详解】 （1）∵二项展开式的前三项的系数分别是1，，， ∴， 解得n＝8(n＝1舍去). （2）由， 当时，为有理项. ∵且，∴，4，8符合要求. 故有理项有3项，分别是，，. （3）设第r＋1项的系数为最大，则， 则 解得. 当r＝2时，当r＝3时，， 因此，第3项和第4项的系数最大， 故系数最大的项为，. 随堂检测 1．在的展开式中，含项的系数为_________. 【答案】301 【分析】 展开式中含项的有三种情况，分别为：（1）和相乘；（2）和相乘；（2）和相乘．分别求出再相加即可． 【详解】 ， 所以含项的系数为. 故答案为：301. 【点睛】 方法点睛：二项式系数问题，有些三项展开式可以变形为二项式问题加以解决，也可以通过组合解决，要注意分类清楚． 2．求5的展开式的第3项的系数和常数项． 【答案】第3项的系数为；常数项为． 【分析】 利用二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】 解：T3＝ (x3)3＝·x5，所以第3项的系数为·＝． 通项Tk＋1＝(x3)5－k ＝x15－5k， 令15－5k＝0，得k＝3，所以常数项为T4＝(x3)2·＝． 3．在的展开式中.求： （1）所有项的系数和； （2）的系数； （3）系数最大的项. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】 （1）令求解即可. （2）先求得展开式的通项公式， 再令求解. （3）设第项的系数最大，由求解. 【详解】 （1）令，该展开式中所有项的系数和为. （2）该展开式的通项公式为，， 令，解得， 故的系数为. （3）设第项的系数最大， 则， 解得， 又， 所以， 故该展开式中系数最大的项为. 4．设. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】（1）1；（2）；（3）. 【分析】 （1）令可得所求的值； （2）再令，结合（1）可得所求的值