1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修2-3同步资源（人教A版）

高中数学 计数原理 内容：“杨辉三角”与二项式系数的性质 知识点 “杨辉三角”与二项式系数的性质 (a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式： 1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等． (2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C. 2．二项式系数的性质 知识拓展 在解决有关二项式系数的问题时，要注意以下几点： (1)要区分二项式系数与二项式项的系数的区别，二项式系数是指C，C，…，C是组合数，而二项式项的系数是指该项除字母以外的常数部分，与二项式系数有关，但不一定等于二项式系数． (2)在求二项式系数时常用赋值法．如－1,0,1等，赋值法体现了函数思想f(x)＝(ax＋b)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋an.在解题时要注意审题，恰当赋值． 自诊小测 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．(　　) (2)二项式展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.(　　) (3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．(　　) 2．做一做 (1)11的展开式中二项式系数最大的项是第________项． (2)若(a＋b)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n＝________. (3)已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝________. 探究　　杨辉三角的有关问题 例1　如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为Sn，求S19. 　(1)如图数表满足：①第n行首尾两数均为n；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n≥2)行的第2个数是________； (2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________． 探究　　二项展开式的系数和问题 例2　在(2x－3y)10的展开式中，求： (1)各项的二项式系数的和； (2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和； (3)各项系数之和； (4)奇数项系数的和与偶数项系数的和． 　设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100·x100，求下列各式的值． (1)a0； (2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100； (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99； (4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2； (5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|. 探究　　求二项展开式中的最大项问题 例3　已知在的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 　已知二项式n. (1)若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数； (2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 课堂小测 1．(2－)8展开式中不含x4项的系数的和为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 2．在n(n∈N*)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为(　　) A．32 B．－32 C．0 D．1 3．若(1－2x)2019＝a0＋a1x＋…＋a2019x2019(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－1 4．如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：＝＋，＝＋，＝＋，…，则第n(n≥3)行第3个数字是________． 5．在二项式(2x－3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和． $高中数学 计数原理 内容：“杨辉三角”与二项式系数的性质 知识点 “杨辉三角”与二项式系数的性质 (a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式： 1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等． (2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C. 2．二项式系数的性质 知识拓展 在解决有关二项式系数的问题时，要注意以下几点： (1)要区分二项式系数与二项式项的系数的区别，二项式系数是指C，