精品解析：上海市七宝中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题

七宝中学2023学年第一学期高一数学期中练习 一．填空题（4*6+5*6=54分） 1. 已知集合，，，则______. 2. 将化成有理数指数幂的形式为______． 3. 不等式的解集为______. 4. 已知方程的两根为，，则______． 5. 若、中至少有一个小于0，则______命题.（填“真”或“假”） 6. 若关于的方程无解，则实数的值为______. 7. 已知，，则______.（用、表示） 8. 若，，，则的最小值为___________. 9. 设，若关于的不等式无解，则的取值范围为______. 10. 在天文学中，天体明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等或亮度满足：，其中星等为的星亮度为，已知太阳的星等是，某天体的亮度是太阳的倍，则此天体的星等约为______．（精确到） 11. 已知关于的不等式组的整数解恰好有两个，则实数的取值范围是______． 12. 已知两正实数，满足，则最大值为__________． 二．选择题（4*2+5*2=18分） 13. 陈述句“或”的否定形式是（ ）． A. 且 B. 且 C. 且 D. 或 14. “”是“且”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 15. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 16. 如果表示不超过最大整数.若，则为（ ） A. 0 B. C. D. 三．解答题（14+14+14+18+18=78分） 17. 已知集合为非空集合，. （1）当时，求，； （2）求能使成立的实数的取值范围. 18. （1）已知实数，满足，求证：. （2）若实数，为正数，且满足，用反证法证明：和中至少有一个成立. 19. 为宣传2023年上海马拉松，某校现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有形状、大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度均为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为. （1）设其中一个栏目的宽为，试把整个矩形海报的面积表示成的代数式，并求出的最小值； （2）如果要求整个矩形海报的面积不超过，并且的长度不超过的一半，求长度的取值范围. 20. 对于两个实数，，规定， （1）证明：关于不等式解集为； （2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； （3）设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值. 21. 已知集合为非空数集，定义：，． （1）若集合，直接写出集合，； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七宝中学2023学年第一学期高一数学期中练习 一．填空题（4*6+5*6=54分） 1. 已知集合，，，则______. 【答案】0或2 【解析】 【分析】根据集合的包含关系，确定集合的元素的关系，即可求解. 【详解】因集合，，，且， 所以或，解得或（不合题意舍去）， 所以0或2. 故答案为：0或2. 2. 将化成有理数指数幂的形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得. 【详解】解：. 故答案为： 3. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由恒成立， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 4. 已知方程的两根为，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】使用韦达定理求出将变形为代入韦达定理即可. 【详解】因为方程的两根为，， 所以由根与系数关系得 所以 故答案为:. 5. 若、中至少有一个小于0，则是______命题.（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】利用反例判断命题的真假即可. 【详解】、中至少有一个小于0包括、都小于0和、两个数中一个小于0，一个大于0， 故当，时，满足条件，但是， 所以命题：若、中至少有一个小于0，则为假命题. 故答案为：假 6. 若关于的方程无解，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据一次方程的根的特征列式求解即可. 【详解】关于的方程无解，即方程无解， 所以，所以. 故答案为： 7. 已知，，则______.（用、表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用对数运算的法则和换底公式求解即可. 【详解】因为，则，又， 所以. 故答案为： 8. 若，，，则的最小值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用基本不等式常值代换即可求解. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的