4.2 指数函数(14种题型)讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.2 指数函数 1、指数函数概念： 一般地，函数，且叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是。 判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为；②底数为大于且不等于的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式。 2、指数函数的概念中为什么要规定，且： ①如果，则当时，；当时，无意义。 ②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在。 ③如果，则是个常量，就没研究的必要了。 3、指数函数的图象及性质： 时图象 时图象 性质 ①定义域，值域， ②, 即时，，图象都经过，点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数 ⑦指数函数与的图象关于轴对称 4、要点诠释： ①当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论。 ②当时，；当时，。 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快。 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快。 ③底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称，指数函数与的图象关于轴对称。 5、指数函数底数变化与图像分布规律： ①；②；③；④， 则：。 在轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图像高” 即，，； 在轴左侧，图像从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图像低” 即，时，。 6、与指数函数有关的定义域、值域问题： （1）求定义域的方法： ①函数，且的定义域与函数的定义域相同。 ②函数的定义域与函数的定义域不一定相同。例如，函数的定义域为0，，而函数的定义域则为。求函数的定义域时，可由函数的定义域与的等价性，建立关于的不等式，利用指数函数的相关性质求解。 （2）求值域的方法： ①求函数，且的值域时，先求函数的值域，再根据指数函数的单调性确定函数的值域。 ②求函数的值域时，可用换元法求解，但换元后应注意引入的新变量的取值范围。 【题型1】指数函数的定义 1．下列各函数中，是指数函数的是（　　） A．y＝（﹣3）x B．y＝﹣3x C．y＝3x﹣1 D．y＝（）x 2．下列函数不是指数函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝3﹣x C．y＝4x D．y＝23x 3．若函数y＝（2a﹣1）x+a﹣2为指数函数，则a的值为（　　） A．0 B．12 C．1 D．2 4．如果函数f（x）＝2a•3x和g（x）＝2x﹣（b+3）都是指数函数，则ab＝（　　） A． B．1 C．9 D．8 5．若函数y＝（m2﹣2m﹣2）⋅mx是指数函数，则m等于（　　） A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D． 【题型2】指数函数的解析式 1．已知函数f（x）是指数函数，且其图象经过点（2，4），则f（x）的解析式是（　　） A．f（x）＝（）x B．f（x）＝2x C．f（x）＝2x D．f（x）＝3x 2．指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）图像经过点（3，27），则f（2）＝（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 3．函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的图象经过点，则f（﹣2）＝（　　） A． B． C． D．9 4．若函数f（x）＝（a﹣3）•ax是指数函数，则f（）的值为（　　） A．2 B．3 C． D．4 5．若函数f（x）＝（a﹣1）•ax是指数函数，则f（）的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣2 D．2 【题型3】指数函数的定义域 1．函数 的定义域是　 　． 2．函数y的定义域是　 　． 3．函数y的定义域为　 　． 4．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为　 　． 5．已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则ab＝　 　． 【题型4】指数函数的值域 1．若（）x﹣2，则函数y＝2x的值域是（　　） A．[，2） B．[，2] C．（﹣∞，] D．[2，+∞） 2．函数f（x）＝1+e|x|的值域为（　　） A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．[2，+∞） D．（2，+∞） 3．函数y＝ax﹣2（a＞0且a≠1，﹣1≤x≤1）的值域是，则实数a＝（　　） A．3 B． C．3或 D．或 4．函数y的值域是（　　） A．（﹣∞，4） B．（0，+∞） C．（0，4] D．[4，+∞） 5．函数的值域为（　　） A．（0，+∞） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（0，1） 【题型5】指数函数的图