4.2.2 指数函数的图象和性质（第1课时：指数函数的图象与性质的综合应用） 同步练习-2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册

4.2.2 指数函数的图象和性质 （第1课时：指数函数的图象与性质的综合应用） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】已知，其中．若，求的定义域． 【例2】已知函数（，且，）. (1)若的图象过点和，求的解析式和值域； (2)当时，在区间上的最大值比最小值大，求的值. 【例3】已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【例4】已知函数 (1)当时，求的值域 (2)求单调区间 (3)若的最大值为9，求实数a的值 【基础夯实】 一、单选题 1．函数（，且）的图象恒过定点为（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 3．函数 的值域是，则定义域为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若函数的最小值为 -4，则 m 的值为（ ） A．-4 B．4 C．-5 D．5 二、多选题 7．若函数（，且）在上的最大值与最小值的差为，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 8．函数的图象可能是（   ） A． B． C．D． 9．已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．若的解集为 D．的零点为1. 三、填空题 10．函数的定义域为______． 11．已知指数函数，且满足，则实数的取值范围是______. 12．已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______． 四、解答题 13．已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)求的值域； (3)若不等式，求实数的取值范围. 14．已知函数且，. (1)当时，判断函数在内的单调性并用定义证明； (2)是否存在m，使得为奇函数，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2 指数函数的图象和性质 （第1课时：指数函数的图象与性质的综合应用） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】已知，其中．若，求的定义域． 【答案】 【分析】由题意得，然后根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 所以定义域为． 【例2】已知函数（，且，）. (1)若的图象过点和，求的解析式和值域； (2)当时，在区间上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由，,求出的值，进而求解即可； （2）当时，在区间上单调递增，结合单调性的性质求解即可. 【详解】（1）由题可知，， 解得，，所以. 因为，所以，所以在上的值域为. （2）当时，在区间上单调递增， 所以，， 因此，解得或（舍去），故. 【例3】已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 是奇函数，证明如下， 的定义域为，关于原点对称， ， 是奇函数； (2)． 【分析】（1）应用奇偶性的定义判定证明函数的奇偶性即可； （2）根据解析式判断函数的单调性，再利用奇偶性、单调性得对一切成立，最后应用分类讨论及二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】（1）略 （2）是增函数， 是上的减函数， 原不等式可化为， 即对一切成立， ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，则有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 【例4】已知函数 (1)当时，求的值域 (2)求单调区间 (3)若的最大值为9，求实数a的值 【答案】(1) (2)单调递增区间是，单调递减区间是 (3)2 【分析】（1）先求出内层函数的值域，再求外层函数的值域； （2）利用复合函数单调性的结论同增异减求解； （3）根据第二问的结论求解. 【详解】（1）令，原函数化为，当时，， 所以，故的值域为. （2）在上单调递减，在上单调递增， 又因为在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （3）由（2）可知，函数在处取最大值， 所以，所以，所以. 【基础夯实】 一、单选题 1．函数（，且）的图象恒过定点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于函数，令，可得，则， 所以函数（且）的图象恒过定点坐标为. 2．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和幂函数单调性比较即可得到答案． 【详解】比较a和b：由，则是减函数，又，故，即； 比较a和c：由，则是增函数，又，故，即． 综上，． 3．函数 的值域是，则定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，， 函数均单调递增，则单调递增， 故，解得， 即函数 的定义域为． 4．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先画出指数函数和一次函数的大致图象，再根据不等式的解集等价于的图象在的图象下方时的取值范围，进而数形结合即可得到答案． 【详解】由是上单调递增的指数函数，且，， 又是上单调递增的一次函数，且，， 所以与的大致图象如下： 则不等式的解集等价于的图象在的图象下方时的取值范围， 数形结合，不等式的解集为． 5．若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论可得分段函数的解析式，从而可得函数图象，结合图象，根据交点个数确定的取值范围. 【详解】由题意知函数的图象如下图所示： 如图与函数的图象有且仅有两个交点， 所以. 6．若函数的最小值为 -4，则 m 的值为（ ） A．-4 B．4 C．-5 D．5 【答案】A 【详解】令，则，对称轴， 当即时，函数在上单调递增，当时，， 因为，所以，不符合题意； 当即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，函数在对称轴处取得最小值，，即，解得， 因为，所以． 二、多选题 7．若函数（，且）在上的最大值与最小值的差为，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】AB 【分析】分和两种情况，结合函数单调性得到最值，从而得到方程，求出答案. 【详解】当时，在上的最大值为，最小值为， 故有，解得或（舍去）. 当时，在上的最大值为，最小值为， 故有，解得或（舍去）. 综上，或. 故选：AB 8．函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】当时，，因此时，，且在上单调递增，故C符合，AB不符合； 当时，，因此时，，且在上单调递减，故D符合． 9．已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．若的解集为 D．的零点为1. 【答案】ACD 【分析】对于A，利用奇偶性定义判断即可； 对于B，利用基本函数单调性判断即可； 对于C，利用奇偶性和单调性解不等式； 对于D，利用单调性和特值法求零点. 【详解】对于A，因为，所以是奇函数，A正确. 对于B，因为在单调递增，在单调递减， 所以在单调递增，B错误. 对于C，由A可知是奇函数， 则即为， 由B可知在上单调递增，则，解得，C正确. 对于D，因为单调且，则由可得， 即，故的零点为1，D正确. 三、填空题 10．函数的定义域为______． 【答案】 【分析】函数的定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足：，解得且. 故答案为： 11．已知指数函数，且满足，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】由函数是指数函数，得，解得且， 又，而，因此函数是减函数，即，解得， 所以实数的取值范围是. 12．已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质可求解在上的值域为，进而根据在上的值域需要包含，结合指数函数的性质求解. 【详解】当时，，则函数在上的值域为． 因为函数的值域是R，故在上的值域需要包含， 所以解得． 故实数a的取值范围是． 四、解答题 13．已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)求的值域； (3)若不等式，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质即可求解； （2）根据函数单调性以及奇函数性质即可求解； （3）由题意，根据单调性以及定义域列出不等式组即可. 【详解】（1）根据题意，是定义在上的奇函数，则， 设，则，， 又由函数为奇函数，则， 则； （2）当时，；当时，； 当时，； 所以的值域为； （3）根据题意，当时，.则函数在上单调递增， 又由函数是定义在上的奇函数，则函数在上单调递增， 由，有， ，解得， 所以实数的取值范围为. 14．已知函数且，. (1)当时，判断函数在内的单调性并用定义证明； (2)是否存在m，使得为奇函数，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由 【答案】(1)函数在内的单调递减; (2)存在，. 【分析】（1）利用函数单调性定义以及指数函数单调性证明即可； （2）利用奇函数定义化简求得方程可解得满足题意. 【详解】（1）当时，函数在内单调递减， 证明如下： 函数， 设, 因，则，即， 可得，即， 则函数在内单调递减. （2）函数定义域为， 若为奇函数，则， 即， 可得, 解得， 即存在，使得为奇函数. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $