4.2.2 指数函数的图象和性质（第2课时：与指数型函数有关的综合应用） 同步练 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.2.2 指数函数的图象和性质 （第2课时：与指数型函数有关的综合应用） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 【答案】(1)的减区间为，增区间为 (2) 【分析】本题考查复合函数的性质，通过分析内层函数与外层函数的单调性与值域，即可求得函数的单调区间与值域. 【详解】（1）， 在上单调递增，在上单调递减， 又因为在上单调递减， 所以根据复合函数单调性判断法则：的减区间为，增区间为. （2）令，则， 则，即的值域为. 【例2】已知函数f(x)＝. (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)判断并用定义证明函数f(x)在其定义域上的单调性． (3)若对任意的t1，不等式f()＋f()<0恒成立，求k的取值范围． 【答案】(1)∵2x＋1≠0， ∴函数的定义域为R，关于原点对称． ∵， ∴函数为奇函数． (2)函数在定义域上为增函数．证明如下： 设，且， 则， ∵y＝2x在上是增函数，且， ∴， ∴， ∴， ∴函数在定义域内是增函数． (3) 【分析】（1）根据奇偶性的判定方法求解即可； （2）根据“取值、作差、变形、定号、结论”的步骤证明即可； （3）根据函数的单调性和奇偶性，将不等式转化为对任意t1恒成立求解，通过换元法并结合分离参数求出函数的最值后可得所求的范围． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵， ∴． ∵函数是奇函数， ∴． 又函数在定义域内是增函数， ∴对任意1恒成立， ∴对任意t1恒成立． 令,，则， ∵函数在上是增函数， ∴， ∴， ∴实数的取值范围为． 【点睛】（1）解答本题时注意函数的奇偶性和单调性的定义的利用，解题时不要忽视了函数的定义域； （2）解答第三问的关键在于转化，但此时容易出现符号上的错误．解决恒成立问题的常用方法是分离参数法，即将参数分离后转化成求函数最值的问题处理，利用单调性求最值是常用的方法． 【例3】已知函数. (1)当时，求的最大值和最小值； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值为170，最小值为 (2) 【分析】（1）换元后得到，，求出最值； （2）转化为，只需，根据对勾函数的单调性得到函数最值，得到，求出答案. 【详解】（1）令， 故， 当时，取得最小值，最小值为， 又，， 故的最大值为170，最小值为； （2），即， 令，故在上有解， ，只需， 其中在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当时，， 故，解得， 故实数的取值范围为. 【基础夯实】 一、单选题 1．若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出幂函数，再令，即可求出答案. 【详解】设幂函数为，代入点，得，解得，所以， 所以的定义域为，则， 即，解得：， 所以函数的定义域为. 2．若为偶函数，则（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】利用偶函数的定义恒成立，即可求. 【详解】由题设，函数的定义域为R，且， 所以恒成立，则恒成立，故. 故选：B 3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数单调性，结合二次函数最值求出值域. 【详解】函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 又函数在上单调递减，因此， 所以函数的值域是. 4．已知函数则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简函数解析式，得出其关于直线对称且在时单调递增，利用函数性质将不等式转化为绝对值不等式求解. 【详解】首先化简函数：，可知函数的图象关于直线对称. 当时，单调递增，故单调递增， 单调递增，故单调递减，因此在上单调递增，由对称性可知在上单调递减. 根据函数性质，等价于，因此不等式等价于，即， 两边平方得，展开整理得，因式分解为，解得. 5．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，则， 解得. 综上，. 6．已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】换元后利用基本不等式求解即可. 【详解】换元转化令，由指数函数性质得，原函数可转化为二次函数： 恒成立等价于对任意恒成立， 分离参数求范围对（）移项得：对任意恒成立， 因此只需， 对有： 当且仅当即时取等号，因此， 即，故的取值范围是. 二、多选题 7．已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的单调递减区间为 D．的图象关于直线对称 【答案】ACD 【分析】由指数函数的定义域可判断A；由指数型复合函数的单调性可判断BC；验证可得D. 【详解】A，由指数函数的性质知，的定义域为，A正确. B、C，函数在上单调递减，在上单调递增，是增函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，，B错误，C正确. D，，的图象关于直线对称，D正确. 故选：ACD. 8．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【答案】BC 【分析】根据分母不为求出函数的定义域，即可判断A；再将函数解析式变形为，即可求出函数的值域，从而判断B；根据指数幂的运算判断C，根据函数值的特征判断D. 【详解】对于函数，则，解得，所以函数的定义域为，故A错误； 因为， 又，当时，则， 当时，则， 所以函数的值域为，故B正确； 又，故C正确； 当时，当时，所以不是减函数，故D错误. 故选：BC 9．若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】画出函数图象，分析该函数的单调性与的符号，可得出的取值范围. 【详解】若函数的图象经过第二、三、四象限，则的图象如下图所示： 函数单调递减，所以，所以， 由题意可知，解得，所以，， 故选：AC. 三、填空题 10．函数的值域是______________． 【答案】 【详解】因为，，即函数的值域是. 11．若函数的单调递增区间是，则______. 【答案】2 【详解】设， 因为函数的对称轴为，其单调递增区间为， 且函数为上增函数， 则依题意可得，解得. 12．已知，分别是上偶函数和奇函数，且满足，若恒成立，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先得到，的解析式，由的单调性得恒成立，结合基本不等式得到答案 【详解】由题意得，， 由①， 得，即②， 联立①②得，， 显然为上单调递增函数，且， 由得，故，即恒成立， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故只需，所以的取值范围是. 四、解答题 13．求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)定义域为，值域为 (3)定义域为，值域为. 【详解】（1）应满足，， 定义域为. ，， 的值域为. （2）定义域为. ， ， 此函数的值域为. （3），， ， 定义域为. ，. 又，. ， ，此函数的值域为. 14．已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法，结合指数函数的单调性和二次函数的最值性质进行求解即可； （2）对不等式进行变形，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】（1），即， 令，则，， 因为， 所以当时，函数有最小值， 所以当时，函数有最小值； （2）， 因为， 所以， ，当且仅当时取等号， 即当且仅当时，有最小值. 要想存在，使得成立， 只需， 所以的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2 指数函数的图象和性质 （第2课时：与指数型函数有关的综合应用） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 【例2】已知函数f(x)＝. (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)判断并用定义证明函数f(x)在其定义域上的单调性． (3)若对任意的t1，不等式f()＋f()<0恒成立，求k的取值范围． 【例3】已知函数. (1)当时，求的最大值和最小值； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 【基础夯实】 一、单选题 1．若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．若为偶函数，则（   ） A． B．0 C． D．1 3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 5．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的单调递减区间为 D．的图象关于直线对称 8．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 9．若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．函数的值域是______________． 11．若函数的单调递增区间是，则______. 12．已知，分别是上偶函数和奇函数，且满足，若恒成立，则的取值范围是______． 四、解答题 13．求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)； (3). 14．已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若存在，使得成立，求的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $