2023年中考数学一轮复习 模型专题五　最值模型（一）将军饮马 造桥选址

模型专题五　最值模型（一）将军饮马 造桥选址 模型精析 模型1　“一线两点”型 【例1】如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是_______. 【例2】如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线AC、BD交于点O，BD=8，点E为OD的中点，点F为AB上一点，且AF=3BF，点P为AC上一动点，连接PE、PF，则|PF-PE|的最大值为_______.2 【例3】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，O为对角线AC的中点，点P在AD边上，且AP=2，点Q在BC边上，连接PQ与OQ，则PQ-OQ的最大值为_______. 基本模型 ①异侧线段和最小 P 模型点拨：连接AB交直线l于点P，点P为所求，PA＋PB的最小值为AB ②同侧线段和最小（将军饮马） 模型点拨：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，则PA＋PB的最小值为A′B ③异侧线段差最大 模型点拨：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长与直线l相交于点P，则|PA－PB|的最大值为AB′ ④同侧线段差最大 模型点拨：连接BA并延长与直线l相交于点P，则|PA－PB|的最大值为AB 模型2　“一角+点”型 【例4】如图，已知∠AOB=30°，点P是∠AOB内部的一点，且OP=4，点M、N分别是射线OA和射线OB上的一动点，则△PMN的周长的最小值是_______. 【例5】如图，在边长为8的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，则四边形BEFG周长的最小值为________. 基本模型 ①一角一点（三角形周长最短） 模型点拨：分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P″，连接P′P″，分别交OA，OB于点C，点D，则△PCD的周长的最小值为P′P″ ②一角两点（四边形周长最短） 模型点拨：分别作点P，Q关于OA，OB的对称点P′，Q′，连接P′Q′分别交OA，OB于点C，D，连接PC，PQ，QD，则四边形PCDQ的周长的最小值为PQ＋P′Q′ 模型3　“一定长两定点”型 【例6】如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足AB=MN，点P是BC的中点，连接AN、PM，若AB=6，则AN+PM的最小值为________. 【例7】如图，矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB中点，E，F为OA上两动点，且EF=2，则四边形CDEF周长最小值为_______. 基本模型 ①定点异侧（造桥选址） 模型点拨：将点A向下平移a个单位长度得到点A′，连接A′B交直线n于点N，过点N作NM⊥直线m于点M，连接AM，则AM＋MN＋NB的最小值为a＋A′B ②定点同侧 模型点拨：将点A向右平移a（MN的长）个单位长度得到点A′，作点A′关于直线l的对称点A″，连接A″B交直线l于点N，将点N向左平移a个单位长度得到点M，则AM＋MN＋NB的最小值为a＋A″B 模型精练 1.如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN=（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2.如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　） A． B． C． D． 3.如图，点M，N分别是矩形ABCD的边BC和AC上的动点，连接AM，MN，AB＝3，BC＝4，则AM＋MN的最小值为（ ） A． B． C． D． 4.如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（　　） A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1） 5.如图，∠MON=α，α＜30°，点A为ON上一定点，点C为ON上一动点，B，D为OM上两动点，当AB+BC+CD最小时，∠BCD+∠ABC=（　　） A．5α B．6α C．90°-α D．180°-α 6.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，AE＝4，AF＝2，G,H分别是边BC，CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为 . 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为 　 　． 8．如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ＝4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ＝　 　． 9．如图