专题17 最值问题中的将军饮马模型-2023年中考数学难点突破与经典模型精讲练（全国通用）

专题17 最值问题中的将军饮马模型 【模型展示】 特点 传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短?从此，这个被称为"将军饮马"的问题广泛流传。 实际问题：应该怎样走才能使路程最短? 作图问题：在直线l上求作一点C, 使AC+BC最短问题. 结论 AC+BC最短 【模型证明】 解决方案 (1)现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？ 连接AB,与直线l相交于一点C. AC+BC最短（两点之间线段最短） (2)现在假设点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？ 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C． 则点C 即为所求． 所作的AC +BC最短吗？请说明理由？ 【证明】 如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合）， 连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴AC +BC= AC +B′C = AB′， AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴AC +BC＜AC′+BC′． 即AC +BC 最短． 【题型演练】 一、单选题 1．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的最小值是（    ） A．4 B．4.5 C．5.5 D．5 【答案】D 【分析】连接BE，交AC于点N'，连接DN'，N'即为所求的点，则BE的长即为DP+PE的最小值，利用勾股定理求出BE的长即可． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与点D关于直线AC对称， 连接BE，交AC于点N'，连接DN'， ∴DN'=BN'， DN'+EN'=BN'+ EN'BD， 则BE的长即为DP+PE的最小值， ∴AC是线段BD的垂直平分线， 又∵CE=CD-DE=4-1=3， 在Rt△BCE中， BE2=CE2+BC2=25， ∵BE＞0， ∴BE=5， 即DP+PE的最小值为5， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，两点之间，线段最短等知识，将PE+PD的最小值转化为BE的长是解题的关键． 2．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】D 【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与D关于直线AC对称， ∴DN=BN， 连接BD，BM交AC于N′，连接DN′， ∴当B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则BM的长即为DN+MN的最小值， ∴AC是线段BD的垂直平分线， 又∵CD=4，DM=1 ∴CM=CD-DM=4-1=3， 在Rt△BCM中，BM= 故DN+MN的最小值是5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D关于直线AC的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键． 3．如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．由PM垂直平分线段DE，推出PD=PE，推出PC+PD=PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可． 【详解】解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x． ∵四边形ABC都是矩形， ∴AB∥CD，AB=CD=4，BC=AD=6， ∵S△PAB=S△PCD， ∴×4×x=××4×（6-x）， ∴x=2， ∴AM=2，DM=EM=4， 在Rt△ECD中，EC==4， ∵PM垂直平分线段DE， ∴PD=PE， ∴PC+PD=PC+PE≥EC， ∴PD+PC≥4， ∴PD+PC的最小值为4． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 4．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（    ） A． B．3 C．2 D