精品解析：湖南省常德市汉寿县第五中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

汉寿五中2023—2024学年上学期高二期中考试卷 数学 （时间：120分钟 分值：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若，，则 A B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 1 B. －1 C. D. 3. 若两条直线l1：x+2y–6=0与l2：2x+ay+8=0平行，则l1与l2间的距离是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中正确的有（ ） ①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行； ②若，则； ③所有的直线都有倾斜角； ④若两条直线垂直，则它们的斜率之积为-1. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面四棱锥称为阳马，如图，四棱锥为阳马，平面ABCD，且，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 1 7. 已知，直线l过且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 以上都不对 8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（       ） A. B. 5 C. D. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 若两条不重合的直线，的方向向量分别是，，则 B. 若直线的方向向量是，平面的法向量是，则 C. 若直线的方向向量是，平面的法向量是，则或 D. 若两个不同的平面，的法向量分别是，，则 10. 直线，的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为（ ） A. 1 B. C. ﹣2 D. ﹣1 12. 如图，正方体的棱长为1，P为侧面（含边界）内的动点，若直线与的夹角为，则下列说法正确的是（ ） A. 点P运动轨迹的长度为 B. 的长度为定值 C. 当CP最小时，三棱锥的体积为 D. 存在点P，使得直线和平面所成的角为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 求过点且截距相等的直线方程________. 14. 已知向量,则向量在上投影向量为________. 15. 若方程表示圆，则m的取值范围为________. 16. 著名数学家阿波罗证明过这样的一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点轨迹是圆，后世将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B的距离为2，动点P满足，当P，A，B不共线时，求三角形PAB面积的最大值________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知空间三点，，，设，． （1）求； （2）与互相垂直，求实数的值． 18. 已知直线：与：的交点为. （1）求过点且平行于直线：的直线方程； （2）求过点且垂直于直线：直线方程； （3）求平行于且与其距离为3的直线方程. 19. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）设P为圆C上的一个动点，O为坐标原点，求OP的中点M的轨迹方程. 20. 如图，棱锥的底面是矩形，平面，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值. 21. 已知平面直角坐标系内三点. （1）若在圆M上，求圆M的方程； （2）若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； （3）若是线段上一动点，求的取值范围. 22. 如图，在直角梯形中，，，.以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 汉寿五中2023—2024学年上学期高二期中考试卷 数学 （时间：120分钟 分值：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量坐标运算法则先求出，再由向量模计算. 【详解】∵，， ∴， ∴. 故选：C 【点睛】本题