精品解析：上海市新中高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

2023学年第一学期高二数学期中试卷 命题人：潘奋 审题人：刘雪琴 一、填空题：（本大题共有10个小题，每小题4分，总分40分） 1. 两个平面最多可以将空间分为___________部分. 2. 已知正方形边长为1，把该正方形绕着它的一条边旋转一周所形成的几何体的体积为________ 3. 已知圆台上、下底面半径分别为5和12，高为24，则圆台的母线长为__________． 4. 在等差数列中，，，，则__________． 5. 等比数列的前3项分别为x，，，则__________． 6. 若正方形边长为1，用斜二测画法所得直观图的面积为__________． 7. 已知数列中，，则数列的前20项和为__________． 8. 如图,一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块,容器内盛有a升水．若将容器平放在地面上（如图1）,则水面正好过圆锥的顶点P;若将容器倒置（如图2）,水面也恰好过点P．下列说法中,正确的是______．（写出所有满足条件的说法序号） ①圆锥的高等于圆柱的高的一半; ②将容器的一条母线贴地,水面也恰过点P; ③将容器任意摆放,当水面静止时都过点P． 9. 已知数列满足，，且，则的最大值为______． 10. 如图，有一个直径AB等于2的半圆，过点A作这个半圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S，使AS＝AB，点C为半圆上的一个动点，点M、N分别为A在SB、SC上的射影．当三棱锥的体积最大时，SC与平面ABC所成角的大小为______． 二、选择题：（本大题共有3个小题，每小题4分，总分12分） 11. 异面直线a，b，若，，且，则直线c与a，b关系是（ ） A. c与a，b都相交 B. c与a，b都不相交 C. c至多与a，b中一条相交 D. c至少与a，b中的一条相交 12. 已知数列满足，数列的前项和为，则下列结论错误的是（ ） A. 的值为2 B. 数列的通项公式为 C. 数列为递减数列 D. 13. 如图在一根长11，外圆周长6的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为（ ） A. 61 B. C. D. 三、解答题：（本大题共有4个题，总分48分） 14. 如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，点C在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知，． （1）求圆柱的侧面积； （2）求与所成的角． 15. 已知数列的前n项和，数列的前n项和． （1）求数列与的通项公式； （2）设，证明：当且仅当时，． 16. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值． 17. 记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且． （1）求的通项公式； （2）证明数列是等比数列，并求通项公式； （3）求证：对于任意正整数，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第一学期高二数学期中试卷 命题人：潘奋 审题人：刘雪琴 一、填空题：（本大题共有10个小题，每小题4分，总分40分） 1. 两个平面最多可以将空间分为___________部分. 【答案】4 【解析】 【分析】根据两个平面的位置关系分别计算出它们将空间分成的部分数即可得解. 【详解】两个平面的位置关系有平行和相交两种， 当两个平面平行时，它们可将空间分成3部分， 当两个平面相交时，它们可将空间分成4部分， 所以两个平面最多可以将空间分为4部分. 故答案为：4 2. 已知正方形边长为1，把该正方形绕着它的一条边旋转一周所形成的几何体的体积为________ 【答案】 【解析】 【分析】正方形绕着它的一条边旋转一周,得到一个圆柱,根据圆柱的体积公式,即可得到答案. 【详解】由题意可知: 正方形绕着它的一条边旋转一周,得到一个圆柱 其底面半径 高 根据柱体体积公式: 故答案为. 【点睛】本题考查了圆柱的体积计算,考查了计算能力,属于基础题. 3. 已知圆台的上、下底面半径分别为5和12，高为24，则圆台的母线长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作出圆台的轴截面，再利用勾股定理计算可得. 【详解】如图作出圆台的轴截面，设上底面圆心为，下底面圆心为，过点作交于点， 依题意，，，所以， 则，所以圆台的母线长为. 故答案为： 4. 等差数列中，，，，则__________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据等差数列的性质：若，则，代入求解即可. 【详解】因为为等差数列，所以由等差数列的性质的：， 即：，解得：. 故答案为：10 5. 等比数列的前3项分别为x，，，则__________．