4.5.2 几种简单几何体的体积（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．如图，ABC ­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是(　　) A． B． C． D． C　[∵VC ­A′B′C′＝V三棱柱， ∴VC ­AA′B′B＝V三棱柱＝.] 2．已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是(　　) A．π B．π C．π D．π A　[设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π， ∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π，∴l＝2，h＝＝， ∴V＝π(12＋22＋1×2)×＝π.] 3．若棱长为2 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．12π B．24π C．36π D．144π C　[由题意知球的直径2R＝ ＝6，∴R＝3，∴S球＝4πR2＝36π.] 4．已知高为3的直棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B1­ABC的体积为(　　) A． B． C． D． D　[由题意，锥B1­ABC的高为BB1，底面为S△ABC＝，所以VB1­ABC＝Sh＝××3＝.] 5．(2022·全国甲卷理)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝(　　) A． B．2 C． D． C　[解法一　因为甲、乙两个圆锥的母线长相等，所以结合＝2可知，甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.不妨设两个圆锥的母线长为l＝3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆，所以2πr1＝4π，2πr2＝2π，得r1＝2，r2＝1.由勾股定理得，h1＝＝，h2＝＝2，所以＝＝＝. 解法二　设两圆锥的母线长为l，甲、乙两圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，侧面展开图的圆心角分别为n1，n2，则由＝＝＝2，得＝＝2.由题意知n1＋n2＝2π，所以n1＝，n2＝，所以2πr1＝l，2πr2＝l，得r1＝l，r2＝l.由勾股定理得，h1＝＝l，h2＝＝l，所以＝＝＝.] 6．(2021·全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________． 39π　[如图，设圆锥的高为h，底面圆的半径为r，母线为l， ∵V＝π62·h＝30π， ∴h＝， ∴l＝＝ ＝，∴S侧＝πrl＝π×6×＝39π.] 7．两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积之和为________． 　[设大，小两球半径分别为R，r，则所以 所以体积之和为πR3＋πr3＝.] 8.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.则此几何体的体积为________． 96　[用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8， 所以V原几何体＝V三棱柱＝×S△ABCAA′＝×24×8＝96.] 9.如图，在棱长为a的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d. 解　在三棱锥A1­ABD中，AA1是三棱锥A1­ABD的高，AB＝AD＝AA1＝a，∴A1B＝BD＝A1D＝a， ∵VA1­ABD＝VA­A1BD， ∴×a2·a＝××(a)2d. ∴d＝a.∴点A到平面A1BD的距离为a. 10.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，截下一个棱锥C­A1DD1，求棱锥C­A1DD1的体积与剩余部分的体积之比． 解　已知长方体ABCD­A1B1C1D1可以看成直四棱柱，设它的底面ADD1A1的面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh. 而棱锥C­A1DD1的底面积为S，高为h， 故三棱锥C­A1DD1的体积为VC­A1DD1＝h＝Sh， 余下部分体积为Sh－Sh＝Sh. 所以棱锥C­A1DD1的体积与剩余部分的体积之比1∶5. 11.(2022·新高考Ⅱ卷)(多选题)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB.记三棱锥E­ACD，F­ABC，F­ACE的体积分别为V1，V2，V3，则(　　) A．V3＝2V2 B．V3＝V1 C.V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1 CD　[如图，连接BD交AC于O，连接OE，OF. 设AB＝ED＝2FB＝2， 则AB＝BC＝CD＝AD＝2，FB＝1. 因为ED⊥平面ABCD，FB∥ED， 所以FB⊥平面ABCD， 所以V1＝VE­ACD＝S△ACD×ED ＝×AD×CD×ED ＝××2×2×2＝， V2＝VF­ABC＝