4.5.1 几种简单几何体的表面积（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1.如图所示，侧棱长为1的正四棱锥，若底面周长为4，则这个棱锥的侧面积为(　　) A．5　　　　　　　　　 B． C． D．＋1 B　[设底面边长为a，则由底面周长为4，得a＝1，则SE＝＝，∴S侧＝4×××1＝.] 2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(　　) A．7 B．6 C．5 D．3 A　[设圆台较小底面半径为r， 则另一底面半径为3r， S侧＝π(r＋3r)×3＝84π，∴r＝7.] 3．卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36 000 km(轨道高度指卫星到地球表面的最短距离)，把地球看成一个球心为O半径为6 400 km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步卫星的点的纬度的最大值记为α，该卫星信号覆盖的地球表面面积S＝2πr2(1－cos α)(单位：km2)，则S占地球表面积的百分比为(　　) A．26% B．34% C．42% D．50% C　[由题意可得cos α＝＝＝， 所以S占地球表面积的百分比为＝＝≈42%，故选C.] 4．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为(　　) A．1∶1 B．1∶ C．1∶ D．1∶2 C　[设正方体棱长为a， 由题意知，三棱锥的各面都是正三角形， 其表面积为4S△AB1D1＝4×a2＝2a2. 正方体的表面积为6a2， ∴三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为2a2∶6a2＝1∶.] 5．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为(　　) A． B． C．8π D． C　[设球的半径为R，则截面圆的半径为， ∴截面圆的面积为S＝π＝(R2－1)π＝π， ∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.] 6．棱长都是3的三棱锥的表面积S为________． 9　[因为三棱锥的四个面是全等的正三角形， 所以S＝4××32＝9.] 7．正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x2－9x＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面面积之和，则其侧面梯形的高为________． 　[方程x2－9x＋18＝0的两个根为x1＝3，x2＝6，设侧面梯形的高为h，则由题意得×(3＋6)h×4＝32＋62，解得h＝.] 8．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为_________． 3∶2　[作轴截面如图，设球的半径为r， 则PO＝2OD，故∠CPB＝30°，从而CB＝PC＝r，PB＝2r，圆锥侧面积S1＝6πr2，球的面积S2＝4πr2，S1∶S2＝3∶2.] 9.如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积． 解　设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S. 则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝＝2. 如图所示，易知△AEB∽△AOC， ∴＝， 即＝，∴r＝1， S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πrh＝2π. ∴S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝2π(＋1). 10.如图所示，正四棱台ABCD ­A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，求四棱台的表面积． 解　∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形， ∴上底面、下底面的面积分别是4，16. ∵侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形， ∴侧面等腰梯形的高为 ＝， ∴一个侧面等腰梯形的面积为×(2＋4)×＝3， ∴四棱台的表面积为4＋16＋3×4＝20＋12. 11.(2020·全国卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　　) A． B． C． D． C　[设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，侧面三角形底边上的高(斜高)为h′，则由已知得h2＝ah′. 如图，设O为正四棱锥S­ABCD底面的中心，E为BC的中点，则在Rt△SOE中，有h′2＝h2＋， ∴h′2＝ah′＋a2， ∴－·－＝0， 解得＝(负值舍去).] 12.蹴鞠(如图所示)，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹲、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以脚蹲、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠(球)的表面上有四个点A，B，C，