4.3.2 第二课时 直线与平面垂直（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．下列命题中正确的是(　　) ①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直； ②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面； ③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直； ④若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另一条直线垂直． A．①② B．②③ C．②④ D．③④ D　[①②不正确．] 2.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的位置关系是(　　) A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定 C　[∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，BA，BC⊂平面ABC，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.] 3．(多选题)已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题正确的是(　　) A．⇒n∥α B．⇒m∥n C．⇒α∥β D．⇒m∥n BC　[A中n，α可能平行或n在平面α内；B，C正确；D中两直线m，n平行或异面．] 4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直 C　[连接AC.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，AC，MC⊂平面AMC，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．] 5．(多选题)(2021·新高考卷Ⅱ)如图，下列各正方体中，O为下底的中点，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足MN⊥OP的是(　　) BC　[对于A，如图，MN∥EF，但EF与OP不垂直，所以A不符合条件； 对于B，如图，点Q是所在棱的中点，可得MN⊥平面OPQ，所以MN⊥OP，所以B符合条件； 对于C，与选项B同理可得MN与OP垂直，所以C符合条件； 对于D，易得MN与OP不垂直．故选BC.] 6．已知PA⊥平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________． 菱形　[如图，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.又BD⊥PC，PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC.∴平行四边形ABCD为菱形．] 7.如图，已知四棱锥P ­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为________． 4　[∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， ∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB， 同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形．] 8．如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________． 2　[因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角．在Rt△PAC中，∠ABC＝30°，所以AC＝AB＝PA，所以tan ∠PCA＝＝2.] 9.如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O. 证明　∵四边形ABCD为正方形， ∴AC⊥BO. 又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1， 又∵BO∩BB1＝B，BO，BB1⊂平面BB1O， ∴AC⊥平面BB1O， 又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC， ∴EF⊥平面BB1O. 10．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值． 解　如图，取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连接AO，B1C. 由题意得B1C⊥BC1，B1C⊥D1C1，BC1∩D1C1＝C1，BC1，D1C1⊂平面ABC1D1，∴B1C⊥平面ABC1D1. ∵E，F分别为A1B1，CD的中点， ∴EF∥B1C，∴EF⊥平面ABC1D1，即∠EAO为直线AE与平面ABC1D1所成的角． 在Rt△EOA中，EO＝EF＝B1C＝， AE＝＝ ＝， ∴sin ∠EAO＝＝. ∴直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为. 11．(多选题)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是(　　) A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD ABD　[∵PA⊥矩形ABCD，BD⊂矩形ABCD， ∴PA⊥B