4.3.1 空间中直线与直线的位置关系（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β＝(　　) A．60°　　　　　　　　 B．120° C．30° D．60°或120° D　[由等角定理知β与α相等或互补，故β＝60°或120°.] 2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　　) A．一定平行 B．一定相交 C．一定异面 D．相交或异面 D　[可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).] 3．若直线a⊄平面α，则下列结论中成立的个数是(　　) ①α内的所有直线与a异面； ②α内的直线与a都相交； ③α内存在唯一的直线与a平行； ④α内不存在与a平行的直线． A．0 B．1 C．2 D．3 A　[∵直线a⊄平面α，∴直线a与平面α可能相交或平行．若a与α平行，则α内与a平行的直线有无数条；若a与α相交，则α内的直线可以与a相交，也可以与a异面．故①②③④都不正确．] 4．(多选题)设A，B，C，D是空间4个不同的点，则下列命题中正确的有(　　) A．若AC与BD共面，则AD与BC共面 B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC ABC　[A，B，C，D四点构成的四边形可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立．] 5．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是(　　) A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 C　[如图，连接AD1，CD1，AC， 可知E，F，G，H分别为AD1，CD1，AB，BC的中点．由三角形的中位线定理知，EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.] 6．已知a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线； ④若a，b与c成等角，则a∥b. 上述命题中正确的是________(填序号). ①　[由基本事实4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b不同在任何一个平面内，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故④不正确．] 7．已知在正方体ABCD ­A′B′C′D′中： (1)BC′与CD′所成的角为________； (2)AD与BC′所成的角为________． (1)60°　(2)45°　[如图，连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°.由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC，易知∠C′BC＝45°.] 8.如图所示，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线． 其中正确的结论为________(填序号). ③④　[直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误；③④正确．] 9. 如图，三棱锥P ­ABC中，E是PC上异于点P的点．求证：AE与PB是异面直线． 证明　假设AE与PB不是异面直线，设AE与PB都在平面α内， 因为P∈α，E∈α，所以PE⊂α. 又因为C∈PE，所以C∈α. 所以点P，A，B，C都在平面α内． 这与P，A，B，C不共面(P ­ABC是三棱锥)矛盾． 于是假设不成立，所以AE与PB是异面直线． 10.如图所示，四边形ABEF和ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点． (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ (1)证明　由已知G，H分别是FA，FD的中点， 可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC， ∴四边形BCHG为平行四边形． (2)解　C，D，F，E四点共面．理由如下： 由BE綊AF，G为FA的中点知，BE綊FG， ∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. 由(1)知BG綊CH， ∴EF∥CH，∴EF与CH共面． 又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面． 11．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线(　　) A．有无数条 B．有两条 C．至多有两条 D．有一条 A　[如图所示， 过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30