2.1.3 两角和与差的正切公式（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1.的值为(　　) A． B． C．tan 6° D． A　[∵＝tan (27°＋33°)＝tan 60°＝， ∴＝.] 2．已知点P(1，a)在角α的终边上，tan ＝－，则实数a的值是(　　) A．2 B． C．－2 D．－ C　[∵点P(1，a)在角α的终边上，∴tan α＝＝a， ∵tan ＝＝＝－， ∴tan α＝－2，∴a＝－2.] 3．已知tan α＋tan β＝2，tan (α＋β)＝4，则tan αtan β等于(　　) A．2 B．1 C． D．4 C　[∵tan (α＋β)＝＝4，且tan α＋tan β＝2， ∴＝4，解得tan αtan β＝.] 4．在△ABC中，若tan A tan B>1，则△ABC的形状是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 A　[由tan A tan B>1，知tan A>0，tan B>0，从而A，B均为锐角． 又tan (A＋B)＝<0，即tan C＝－tan (A＋B)>0，∴C为锐角，故△ABC为锐角三角形．] 5．(2020·全国卷Ⅲ)已知2tan θ－tan ＝7，则tan θ＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 D　[2tan θ－tan ＝2tan θ－＝7，解得tan θ＝2.] 6．已知tan (α＋β)＝，tan α＝－2，则tan β＝________． 7　[tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝7.] 7．已知α为锐角，且tan (α＋β)＝3，tan (α－β)＝2，则角α等于________． 　[∵tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)] ＝＝＝－1， ∴2α＝－＋kπ(k∈Z)，∴α＝－＋(k∈Z). 又∵α为锐角，∴令k＝1，得α＝－＝.] 8．已知tan ＝，tan ＝－，则tan ＝________． 　[tan ＝tan ＝＝＝.] 9．求下列各式的值． (1)；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°). 解　(1)原式＝ ＝＝tan 15°＝tan (45°－30°) ＝＝＝2－. (2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76° ＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2. 10．已知tan (π＋α)＝－，tan (α＋β)＝. (1)求tan (α＋β)的值； (2)求tan β的值． 解　(1)因为tan (π＋α)＝－，所以tan α＝－， tan (α＋β)＝＝＝＝. (2)tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝. 11．在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan A tan B，则角C等于(　　) A． B． C． D． A　[由已知，得tan A＋tan B＝(tan A tan B－1)， 即＝－，∴tan (A＋B)＝－， ∴tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan (A＋B)＝， ∵C∈(0，π)，∴C＝.] 12．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于(　　) A．1 B．2 C．tan 10° D．tan 20° A　[原式＝tan 10°tan 20°＋tan 20°＋ tan 10° ＝(tan 10°＋tan 20°＋tan 10°tan 20°)＝[tan (10°＋20°)(1－tan 10° tan 20°)＋tan 10° tan 20°]＝tan 30°＝×＝1.] 13．已知tan α＝lg (10a)，tan β＝lg ，且α＋β＝，则实数a的值为________． 或1　[∵α＋β＝，∴tan (α＋β)＝＝1， tan α＋tan β＝1－tan αtan β， 即lg (10a)＋lg ＝1－lg (10a)lg ， 1＝1－lg (10a)lg ，∴lg (10a)lg ＝0， ∴lg (10a)＝0或lg ＝0， 解得a＝或a＝1.] 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，. (1)求tan (α＋β)的值； (2)求α＋2β的值． 解　(1)由已知条件及三角函数的定义，可知cos α＝，cos β＝， 因α，β均为锐角，所以sin α＝＝，sinβ＝＝. 因此