课时分层评价15 两角和与差的正切公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（湘教版）

课时分层评价15　两角和与差的正切公式 (时间：40分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：B 解析：tan(α＋β)＝＝＝－. 2.等于(　　) A. B.1 C. D.－1 答案：B 解析：原式＝＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1.故选B. 3.已知α，β为锐角，sin α＝，tan(β－α)＝，则tan β＝(　　) A. B. C.3 D. 答案：A 解析：因为α，β为锐角，sin α＝，tan(β－α)＝， 所以cos α＝＝，tan α＝＝， 则tan β＝tan[(β－α)＋α]＝＝＝，故选A. 4.△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则tan∠BAC＝(　　) A. B.－ C.2 D.－2 答案：D 解析：△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC， 如图所示， 设AD＝x，则BD＝x，DC＝3x， 所以AB＝x，AC＝x， 所以tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝3， 所以tan∠BAC＝tan(∠BAD＋∠CAD)＝＝＝－2. 故选D. 5.若α＋β＝，则tan αtan β－tan α－tan β的值为(　　) A. B.1 C.－1 D.－ 答案：A 解析：因为α＋β＝， 所以tan(α＋β)＝＝tan ＝－， 整理可得tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β). 所以tan αtan β－tan α－tan β ＝tan αtan β－(tan α＋tan β) ＝tan αtan β＋－tan αtan β＝. 6.＝　　　　. 答案： 解析：原式＝ ＝＝. 7.已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为　　　　. 答案：－ 解析：tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝＝－. 8.已知－＜α＜β＜，且αβ≠0，1－4tan αtan β＝，则tan(α＋β)的最大值是　　　　. 答案： 解析：因为1－4tan αtan β＝＝＝1＋tan2β， 所以tan β＝－4tan α. 又－＜α＜β＜，αβ≠0， 所以－＜α＜0＜β＜，且tan α＜0， 所以tan(α＋β)＝＝ ＝ ≤＝， 当且仅当tan α＝－时取等号， 故tan(α＋β)的最大值是. 9.(15分)已知cos α＝，cos β＝，其中α，β都是锐角，求： (1)sin(α－β)的值； (2)tan(α－β)的值. 解：(1)因为α，β都是锐角， 所以sin α＝＝， sin β＝＝， 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝×－×＝. (2)因为tan α＝＝2，tan β＝＝， 所以tan(α－β)＝＝＝. 10.(15分)如图，在平面直角坐标系xOy上，点A(1，0)，点B在单位圆上，∠AOB＝θ(0＜θ＜π). (1)若点B(－，)，求tan(θ＋)的值； (2)若＋＝，·＝，求cos(－θ). 解：(1)由点B(－，)，∠AOB＝θ(0＜θ＜π)，得sin θ＝，cos θ＝－， 所以tan θ＝－， 所以tan(θ＋)＝＝＝－. (2)因为＋＝，＝(1，0)， ＝(cos θ，sin θ)， 所以＝(1＋cos θ，sin θ)， 又因为·＝， 所以·＝cos θ＋cos2θ＋sin2θ＝cos θ＋1＝， 解得cos θ＝， 因为0＜θ＜π， 所以sin θ＝＝. 所以cos(－θ)＝coscos θ＋sinsin θ ＝×＋×＝. (11、12每小题5分，共10分) 11.(多选)在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是(　　) A.tan(A＋B)＝－ B.tan A＝tan B C.cos B＝sin A D.tan A·tan B＝ 答案：BCD 解析：因为∠C＝120°，所以∠A＋∠B＝60°， 所以tan(A＋B)＝tan(π－C)＝，所以A错； 因为tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝， 所以tan A·tan B＝①，所以D正确； 又tan A＋tan B＝②，由①②联立解得 tan A＝tan B＝，所以cos B＝sin A，故BC正确.故选BCD. 12.在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场(矩形)长BC大约为40米，宽AB大约为20米，球门长PQ大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上某点M处射门(假设球贴地直线运行)，为使得张角∠PMQ最大，则BM大约为(精确到1米)(　　) A.8米 B.9米 C.10米 D.11米 答案：C 解析：设∠PMB＝α，∠QMB＝β，BM＝x， 则tan α＝＝，tan β＝＝， 则tan∠PMQ＝tan(β－α)＝＝＝≤＝， 当且仅当x＝，即BM＝x＝4≈10时取等号. 故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $