阶段测评(一) 平面向量的线性运算（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

阶段测评(一)　平面向量的线性运算 (时间：60分钟　满分：75分) 一、单项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知非零向量e1，e2，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a与b共线，则下列关系一定成立的是(　　) A．e1∥e2　　　　　　　 B．e1＝e2 C．λ＝0 D．e1∥e2或λ＝0 D　[∵a与b共线，∴存在实数μ，使a＝μb. ∴e1＋λe2＝2μe1.∴∴λ＝0或e1∥e2.] 2．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n B　[因为BD＝2DA，所以＝3， 所以＝＋＝＋3 ＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n.] 3．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　) A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上 C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部 A　[由＝λ＋， 得＋＝λ，即＝λ. 根据共线向量的判定定理知，C，P，A三点共线．故点P一定在AC边所在的直线上．] 4．平面内有四边形ABCD和点O，若＋＝＋，则四边形ABCD的形状是(　　) A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 B　[因为＋＝＋， 所以－＝－，即＝. 所以AB∥CD，且AB＝CD. 故四边形ABCD是平行四边形．] 二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．) 5．若a是任一非零向量，b是模为1的向量，下列各式中错误的是(　　) A．|a|>|b| B．a∥b C．|a|>0 D．|b|＝±1 ABD　[a为任一非零向量，故|a|>0，C正确．] 6．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为(　　) A．－1 B. － C．3 D. 4 AC　[因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线， 所以存在λ∈R使ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]. 所以解得m＝－1或m＝3.] 三、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分．请把正确答案填在题中横线上．) 7．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是________． 梯形　[∵＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2. ∴AD∥BC，且AD＝2BC.∴四边形ABCD是梯形．] 8．已知向量a，b不共线，若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ＝________． －1　[因为向量a＋λb与b＋λa的方向相反，所以(a＋λb)∥(b＋λa).由向量共线定理可知，存在一个实数m，使得a＋λb＝m(b＋λa)，即(1－mλ)a＝(m－λ)b. 因为a与b不共线，所以1－mλ＝m－λ＝0，可得m＝λ. 所以1－λ2＝0，λ＝±1. 当λ＝1时，向量a＋b与b＋a是相等向量， 其方向相同，不符合题意，故舍去． 所以λ＝－1.] 四、解答题(本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 9．(10分)已知四边形ABCD为正方形，＝3，AP与CD交于点E，若＝m＋n，求m－n的值． 解　由题作图如图所示， ∵＝3，∴BP＝3CP，由△ABP∽△ECP，∴AB＝3CE＝CD， ∴＝＋＝＋＝＋＝＋， ∴m－n＝－＝. 10．(12分)如图，已知△ABC的面积为14，D，E分别为边AB，BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，AE与CD交于P.设存在λ和μ使＝λ，＝μ，＝a，＝b. (1)求λ及μ； (2)用a，b表示； (3)求△PAC的面积． 解　(1)由于＝a，＝b，则＝a＋b， ＝a＋b，＝λ＝λ，＝μ＝μ，＝＋＝a＋， a＋μ＝λ， ∴λ＝＋μ，① λ＝μ，② 由①②得λ＝，μ＝. (2)＝＋＝－a＋＝－a＋b. (3)设△ABC，△PAB，△PBC的高分别为h，h1，h2， h1∶h＝||∶||＝μ＝，S△PAB＝S△ABC＝8， h2∶h＝||∶||＝1－λ＝，S△PBC＝S△ABC＝2，所以S△PAC＝4. 11. (13分)如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b. (1)用a，b表示，，，，； (2)求证：B，E，F三点共线． (1)解　 如图，延长AD到G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC. 则＝a＋b， ＝＝(a＋b)， ＝＝(a＋b)， ＝＝b， ＝－＝(a＋b)－a＝