第1章 平面向量及其应用 阶段质量评价-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

[阶段质量评价]　第1章　平面向量及其应用 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若D为△ABC的边AB的中点,则= (　　) A.2- B.2- C.2+ D.2+ 解析:选A　=+=+2=+2(+)=2-.故选A. 2.向量a=(2,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a= (　　) A.6 B.5 C.1 D.-6 解析:选A　∵2a+b=(3,0),∴(2a+b)·a=3×2+0×(-1)=6.故选A. 3.在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC= (　　) A.1 B. C. D.3 解析:选D　设AB=c,AC=b,BC=a,结合余弦定理b2=a2+c2-2accos B,可得19=a2+4-2×a×2×cos 120°,即a2+2a-15=0,解得a=3(a=-5舍去).故BC=3.故选D. 4.若|a|=2,|b|=3,a·b=4,则|a-2b|的值是 (　　) A.24 B.2 C.-24 D.-2 解析:选B　∵|a-2b|2=|a|2-4a·b+4|b|2=4-16+36=24,∴|a-2b|=2.故选B. 5.如图,在平行四边形ABCD中,F是BC的中点,=-2,若=x+y,则x+y= (　　) A.1 B.6 C. D. 解析:选C　∵=-=-=-,∴x=,y=-.∴x+y=-=.故选C. 6.已知等边三角形ABC的边长为4,O为三角形内一点,且++2=0,则△AOB的面积是 (　　) A.4 B. C. D.2 解析:选D　根据题意,设AB的中点为D.由△ABC是等边三角形,则CD⊥AB.由AB的中点为D,则+=2.又由++2=0,则=-,则O是CD的中点.又由△ABC的边长为4,则AD=2,CD=2,则OD=,则S△AOB=×4×=2,故选D. 7.如图,阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧,弧ACB和弧ADB分别是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分,若∠ACB=,AC=BC=1,则弧ACB的半径为 (　　) A.1 B. C.2 D. 解析:选A　∵∠ACB=,AC=BC=1,∴由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=1+1-2×=3.∴AB=.∵弧ACB的半径即为△ABC的外接圆半径,∴可设△ABC的外接圆半径为r,由正弦定理得=2r,即2r==2,解得r=1.∴弧ACB的半径为1.故选A. 8.骑自行车是一种能改善心肺功能的耐力型有氧运动,深受大众喜爱.如图所示是某一型号自行车的平面结构示意图,已知图中自行车的前轮圆A,后轮圆D的半径均为,△ABE,△BEC,△ECD均为边长为4的正三角形,设点P为后轮上的一点,则在骑动该自行车的过程中,·的最大值为 (　　) A.12 B.24 C.36 D.48 解析:选C　选择,为基,=+=+,=+=-+2+, ·=-+·+2+(+)·=24+·≤24+||||=36,故选C. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知向量m+n=(3,1),m-n=(1,-1),则 (　　) A.(m-n)∥n B.(m-n)⊥n C.|m|=|n| D.<m,n>=45° 解析:选BCD　由 得∵m-n=(1,-1),∴1×(-1)≠1×1,即m-n与n不平行,A错误.∵(m-n)·n=1×1+(-1)×1=0,∴(m-n)⊥n,B正确.∵|m|==2,|n|==,∴|m|=|n|,C正确.∵cos<m,n>===,<m,n>∈[0,π],∴<m,n>=,即<m,n>=45°,D正确. 10.在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,AD,BE,CF交于点G,则 (　　) A.=- 　B.=-+ C.+= 　D.++=0 解析:选BCD　因为D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,所以==-,故A错误;由平行四边形法则可知,=+=-+,故B正确;=-=++=++=++=+++=+,故C正确;由题意知,点G为△ABC的重心,所以++=-(++)=-×(+++++)=0,D正确. 11.定义运算=mn-pq.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c满足=0,则下列结论正确的是 (　　) A.sin A+sin C=2sin B B.A∶C=1∶2 C.角B的最大值为 D.若asin A=4csin C,则△ABC为钝角三角形 解析:选ACD　由=0可知(a+b+c)-3(a+c-b)=0,整理可知a+c=2b.由正弦定理可知,sin A+sin C=2sin B,从而可知A正确;由A=B=C=满足a+c=2b,但不满足A∶C=1∶2,故B不正确;cos B===≥=(当且仅当a=c时取“=”),又0<B<π,∴B的最大值为,故C正确;由asin A=4csin C可得a2=4c2,解得a=2c,又a+c=2b,从而可得c=b,a=b,a为最大边,cos A===-<0,A∈(0,π),角A为钝角,故D正确. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12. （5分）已知非零向量a=(2x,y),b=(1,-2),且a∥b,则=　　　　　.  解析:∵a∥b,∴-2×2x=1×y,即y=-4x. ∴=-. 答案:- 13. （5分）已知O是△ABC内部一点,且满足++=0,又·=2,∠BAC=60°,则△OBC的面积为　　　　.  解析:∵·=||·||cos∠BAC=||·||=2,∴||·||=4.∴S△ABC=||·||sin∠BAC=×4×=3.∵++=0,∴O是△ABC的重心.∴S△OBC=S△ABC=1. 答案:1 14. （5分）已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是　　　　,最大值是　　　　.  解析:设a,b的夹角为θ,∵|a+b|===,|a-b|===,∴|a+b|+|a-b|=+.令t=+,则t≥0且t2=10+2.∵cos2θ∈[0,1],∴25-16cos 2θ∈[9,25].∴t2∈[16,20].∴4≤t≤2,即|a+b|+|a-b|的最小值为4,最大值为2. 答案:4　2 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知a=(1,0),b=(2,1). (1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?（5分） (2)若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值. （8分） 解:(1)由题可得,ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).因为ka-b与a+2b共线,所以2(k-2)-(-1)×5=0⇒k=-. (2)因为A,B,C三点共线,a与b不共线,所以存在实数λ,使得=λ,即2a+3b=λ(a+mb),整理得(8,3)=(λ+2mλ,mλ), 所以⇒m=. 16.(15分)如图,在△ABC中,D为BC的四等分点,且靠近点B.E,F分别为AC,AD的三等分点,且分别靠近A,D两点,设=a,=b. (1)试用a,b表示,,; （5分） (2)证明:B,E,F三点共线. （10分） 解:(1)由题意,得=-=b-a, =+=+=+(-)=a+(b-a)=a+b, =+=-+=-a+b. (2)证明:因为=-a+b, =+=-+=-a+=-a+b=, 所以=.所以与共线. 又与有公共点B,所以B,E,F三点共线. 17.(15分)如图,在△ABC中,=+. (1)求△ABM与△ABC的面积之比; （5分） (2)若N为AB中点,与交于点P,且=x+y (x,y∈R),求x+y的值. （10分） 解:(1)在△ABC中,=+, 则4=3+,3(-)=-, 即3=,即点M是线段BC靠近B点的四等分点. 故△ABM与△ABC的面积之比为. (2)因为=+,∥, =x+y(x,y∈R),所以x=3y. 因为N为AB的中点, 所以=-=x+y- =+y, =-=x+y- =x+(y-1). 因为∥.所以(y-1)=xy, 即2x+y=1.又x=3y, 所以x=,y=.所以x+y=. 18.(17分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若(a-c)sin A+csin(A+B)=bsin B. (1)求角B; （7分） (2)若a+c=4,求△ABC周长的最小值,并求出此时△ABC的面积. （10分） 解:(1)∵sin(A+B)=sin(π-C)=sin C, 由已知结合正弦定理可得(a-c)a+c2=b2, ∴a2+c2-b2=ac. ∴cos B===. ∵B∈(0,π),∴B=. (2)∵b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-3ac=16-3ac,即3ac=16-b2, ∴16-b2≤3,解得b≥2,当且仅当a=c=2时取等号. ∴bmin=2,△ABC周长的最小值为6, 此时△ABC的面积S=acsin B=. 19.(17分)某港湾的平面示意图如图所示,O,A,B分别是海岸线l1,l2上的三个集镇,A位于O的正南方向6 km处,B位于O的北偏东60°方向10 km处. (1)求集镇A,B间的距离; （7分） (2)随着经济的发展,为缓解集镇O的交通压力,拟在海岸线l1,l2上分别修建码头M,N,开辟水上航线.勘测时发现:以O为圆心,3 km为半径的扇形区域为浅水区,不适宜船只航行.请确定码头M,N的位置,使得M,N之间的直线航线最短. （10分） 解:(1)在△ABO中,OA=6,OB=10,∠AOB=120°,根据余弦定理,得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos 120°=62+102-2×6×10×=196,所以AB=14,故集镇A,B间的距离为14 km. (2)依题意得,直线MN必与圆O相切.设切点为C,连接OC(图略),则OC⊥MN.设OM=x,ON=y,MN=c,在△OMN中,由MN·OC=OM·ON·sin 120°,得×3c=xysin 120°,即xy=2c.由余弦定理,得c2=x2+y2-2xycos 120°=x2+y2+xy≥3xy,所以c2≥6c,解得c≥6.当且仅当x=y=6时,c取得最小值6.所以当码头M,N与集镇O的距离均为6 km时,M,N之间的直线航线最短,最短距离为6 km. 学科网（北京）股份有限公司 $