阶段测评(六) 立体几何初步（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

阶段测评(六)　立体几何初步 (时间：60分钟　满分：75分) 一、单项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(　　) A．平面α内所有直线与l异面 B．平面α内存在唯一的直线与l平行 C．平面α内不存在与l平行的直线 D．平面α内的直线都与l相交 C　[∵直线l不平行于平面α，且l⊄α，∴l与平面α相交，故平面α内不存在与l平行的直线．] 2．一长方体木料，沿图①所示平面EFGH截长方体，若AB⊥CD，那么图②四个图形中是截面的是(　　) A　[因为AB，MN两条交线所在平面(侧面)互相平行，故AB，MN无公共点，又AB，MN在平面EFGH内，故AB∥MN，同理易知AN∥BM.又AB⊥CD，∴截面必为矩形．] 3．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　) A．π B．4π C．4π D．6π B　[如图，设截面圆的圆心为O′， M为截面圆上任一点，则OO′＝，O′M＝1， ∴OM＝＝，即球的半径为， ∴V＝π()3＝4π.] 4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷(qūn)盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V＝L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么近似公式V＝L2h，相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(　　) A． B． C． D． C　[设圆锥的底面半径为r，则圆锥的底面周长L＝2πr， ∴r＝，∴V圆锥＝πr2h＝π××h＝. 由题意得＝，π＝＝.] 二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．) 5．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是(　　) A．圆柱的侧面积为2πR2 B．圆锥的侧面积为2πR2 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆锥的表面积最小 CD　[对于A，∵圆柱的底面直径和高都与一个球的直径2R相等， ∴圆柱的侧面积为S＝2πR×2R＝4πR2，故A错误； 对于B，∵圆锥的底面直径和高都与一个球的直径2R相等， ∴圆锥的侧面积为S＝πR＝πR2，故B错误； 对于C，球的表面积为S＝4πR2， ∴圆柱的侧面积与球面面积相等，故C正确； 对于D，圆柱的表面积为S1＝2πR×2R＋2πR2＝6πR2， 圆锥的表面积为S2＝πR＋πR2＝(＋1)πR2， 球的表面积为S3＝4πR2，∴圆锥的表面积最小，故D正确．] 6．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题错误的是(　　) A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n B．若α∥β，β∥γ，m∥α，则m∥γ C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β BCD　[A正确；若α∥β，β∥γ，m∥α，则m∥γ或m⊂γ，B错；平行于同一个平面的两条直线有三种位置关系，C错；垂直于同一个平面的两个平面也可以相交，D错．] 三、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分．请把正确答案填在题中横线上．) 7．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________． 3∶1∶2　[设球半径为a，则圆柱、圆锥的高为2a，则圆柱、圆锥、球的体积分别为πa2×2a，πa2×2a，πa3.所以体积之比为2∶∶＝3∶1∶2.] 8．在△ABC中，∠BAC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，平面PBC与平面ABC的位置关系是________. 垂直　[如图所示，取BC的中点O，连接AO，PO. ∵PB＝PC，∴PO⊥BC. 又△ABC是以A为直角顶点的直角三角形， ∴OA＝OB，又PA＝PB， ∴△POA≌△POB， ∴∠POA＝∠POB＝90°，即PO⊥OA，而OA∩BC＝O，OA，BC⊂平面ABC， ∴PO⊥平面ABC，而PO⊂平面PBC， ∴平面PBC⊥平面ABC.] 四、解答题(本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 9．(10分)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点． (1)求证：MN//A1C1； (2)求异面直线MN与BC1所成角的余弦值． (1)证明　如图，连接AC，∵M，N分别是AD，DC的中点， ∴MN∥AC，又∵AC//A1C1，∴MN∥A1C1. (2)