阶段测评(二) 平面向量及其应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

阶段测评(二)　平面向量及其应用 (时间：60分钟　满分：75分) 一、单项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．若＝(－1，2)，＝(1，－1)，则＝(　　) A．(－2，3)　　　　　　　 B．(0，1) C．(－1，2) D．(2，－3) D　[＝(－1，2)，＝(1，－1)， 所以＝－＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3).] 2．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b2＋c2－a2＝bc，则sin(B＋C)的值为(　　) A．－ B． C．－ D． B　[由b2＋c2－a2＝bc，得cos A＝＝，∵A为△ABC的内角，∴sin A>0，则sin (B＋C)＝sin A＝＝.] 3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 C　[由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)， 所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t， b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t. 因为〈a，c〉＝〈b，c〉， 所以cos〈a，c〉＝cos 〈b，c〉， 即＝，即＝3＋t，解得t＝5.] 4．已知|a|＝3，b在a方向上的投影数量为，则a·b＝(　　) A．3 B． C．2 D． B　[∵|a|＝3，b在a方向上的投影数量为|b|cos 〈a，b〉＝， ∴a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝3×＝.] 二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．) 5．已知△ABC的外接圆的半径是3，a＝3，则A等于(　　) A．30° B. 60° C．120° D. 150° AD　[根据正弦定理，得＝2R，即sin A＝＝. ∵0°<A<180°，∴A＝30°或A＝150°.] 6．在△ABC中，＝c，＝a，＝b，则下列命题中是真命题的有(　　) A．若a·b＞0，则△ABC为锐角三角形　 B．若a·b＝0.则△ABC为直角三角形 C．若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形 D．若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则△ABC为直角三角形 BCD　[A.若a·b＞0，则∠BCA是钝角，△ABC是钝角三角形，A错误． B．若a·b＝0，则⊥，△ABC为直角三角形，B正确． C．若a·b＝c·b，b·(a－c)＝0，·(－)＝0，·(＋)＝0，则||＝||，即△ABC为等腰三角形，C正确． D．若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则a2＝(c－b)2，即b2＋c2－a2＝2b·c，即＝－cos A， 由余弦定理可得cos A＝－cos A，即cos A＝0，即A＝，即△ABC为直角三角形，即D正确．] 三、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分．请把正确答案填在题中横线上．) 7．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________． 8　[由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6， ∴c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2，4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c|＝＝8 .] 8. 如图所示，甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10 海里．乙船每小时航行_____________海里． 30　[连接A1B2(图略)，由题意知，A1B1＝20，A2B2＝10，A1A2＝×30 ＝10 (海里).又∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°. 在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2cos 45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200，∴B1B2＝10(海里). 因此乙船的速度大小为×60＝30(海里/小时).] 四、解答题(本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 9．(10分)已知＝(－1，3)，＝(3，m)，＝(1，n)，且∥. (1)求实数n的值； (2)若⊥，求实数m的值． 解　(1)因为＝(－1，3)，＝(3，m)，＝(1，n)， 所以＝＋＋＝(3，3＋m＋n). 因为∥，所以＝λ. 即解得n＝－3. (2)由(1)可知＝(1，－3)，因为＝＋＝(2，3＋m)，＝＋