单元素养强化(一) 平面向量及其应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

单元素养强化(一)　平面向量及其应用 一、单选题 1.在五边形ABCDE中(如图)，＋－＝(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D． B　[＋－＝＋＝.] 2．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，如果2＝16，|＋|＝|－|，那么||等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A．8 B．4 C．2 D．1 C　[因为2＝16，所以||＝4.又|－|＝||＝4，所以|＋|＝4. 因为M为BC的中点，所以＝(＋)， 所以||＝|＋|＝2.] 3．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，a＋λb与a垂直，则λ等于(　　) A．－2 B．1 C．－1 D．0 C　[a＋λb＝(1＋4λ，－3－2λ)， 因为a＋λb与a垂直， 所以(a＋λb)·a＝0.即1＋4λ－3(－3－2λ)＝0. 解得λ＝－1.] 4．在△ABC中，AC＝，BC＝2，∠B＝60°，则BC边上的高等于(　　) A． B． C． D． B　[设AB＝a， 则由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B， 7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a1＝3，a2＝－1(负值舍去). ∴S△ABC＝AB·BC sin B＝×3×2×＝. ∴BC边上的高为＝.] 二、多选题 5．在△ABC中，c＝，b＝1，B＝，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 AB　[由正弦定理可知sin C＝·c＝·＝， ∴C＝或C＝. 当C＝时，A＝π－B－C＝，△ABC为直角三角形； 当C＝时，A＝π－B－C＝，△ABC为等腰三角形．] 6．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下列说法中正确的有(　　) A．若a与b共线，则a⊙b＝0 B．a⊙b＝b⊙a C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2 ACD　[根据题意可知若a，b共线，可得mq＝np，所以a⊙b＝mq－np＝0，所以A正确．因为a⊙b＝mq－np，而b⊙a＝np－mq，故二者不相等，所以B错误．对于任意的λ∈R，(λa)⊙b＝λ(a⊙b)＝λmq－λnp，所以C正确．(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2＋n2p2－2mnpq＋m2p2＋n2q2＋2mnpq＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，所以D正确．故选A、C、D.] 三、填空题 7．(2022·浙江卷)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S＝ ，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，c＝2，则该三角形的面积S＝___________． 　[因为a＝，b＝，c＝2，所以S＝＝.] 8.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________． 22　[由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－. 因为·＝2， 所以·＝2. ∴2－·－2＝2. 又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.] 9．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________． [0，1]　[设θ＝〈a，b〉，b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0， 由|a|＝1，得|b|·(cos θ－|b|)＝0.解得|b|＝0或|b|＝cos θ. 由余弦函数在上的值域及模的非负性，可得|b|∈[0，1].] 四、解答题 10.如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y. (1)若＝，求x，y的值； (2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值． 解　(1)若＝，则P为AB中点，所以＝＋.故x＝y＝. (2)若＝3， 则＝＋， 故·＝· ＝－2－·＋2 ＝－×42－×4×2×cos 60°＋×22 ＝－3. 11．(2022·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4a＝c，cos C＝. (1)求sin A的值； (2)若b＝11，求△ABC的面积． 解　(1)由正弦定理＝，得sin A＝. 因为cos C＝，所以sin C＝， 又＝，所以sin A＝＝. (2)由(1)知sin A＝， 因为a＝＜c，所以0＜A＜，所以cos A＝， 所以sin B＝sin (π－B)＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋sin Ccos A＝×＋×＝. 因为＝，即＝， 所以c＝4， 所以S△ABC＝bc