单元素养强化(四) 立体几何初步（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

单元素养强化(四)　立体几何初步 一、单选题 1．下列说法中不正确的是(　　) A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B．同一平面的两条垂线一定共面 C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内 D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 D　[A，B，C显然正确．易知当直线与平面垂直时，过这条直线有无数个平面与已知平面垂直．选D.] 2．设a，b，c是空间的三条直线，给出以下三个命题： ①若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ②若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面； ③若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　[借助正方体中的线线关系易知①②错误；由基本事实4知③正确．] 3．如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为4 m2，互相平行的两个侧面的距离为2 m，则这个六棱柱的体积为(　　) A．3 m3 B．6 m3 C．12 m3 D．以上都不对 B　[设底面边长为a，高为h，则a＝，又2××h＝4，∴h＝，∴V＝××××6×＝6(m3).] 4．正方体的8个顶点中，有4个为每个面都是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为(　　) A．1∶ B．1∶ C．2∶ D．3∶ B　[设正方体棱长为a，S正方体表面积＝6a2，正三棱锥侧棱长为a，则三棱锥表面积为 S三棱锥表面积＝4××2a2＝2a2.∴＝＝.] 5．已知三棱锥S ­ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　) A． B． C． D． A　[利用三棱锥的体积变换求解．由于三棱锥S ­ABC与三棱锥O ­ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S ­ABC的高是三棱锥O ­ABC高的2倍，所以三棱锥S ­ABC的体积也是三棱锥O ­ABC体积的2倍． 在三棱锥O ­ABC中，其棱长都是1，如图所示， S△ABC＝×AB2＝， 高OD＝ ＝， ∴V三棱锥S ­ABC＝2V三棱锥O ­ABC＝2×××＝.] 二、多选题 6．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个说法不正确的是(　　) A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n B．若α∥β，β∥γ，m∥α，则m∥γ C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β BCD　[B中，如果m⊂γ，则m不平行于γ；C中，若m∥α，n∥α，则m，n相交，平行或异面，D中，若α⊥γ，β⊥γ，则α，β相交或平行．] 7.如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则下列结论正确的是(　　) A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．平面ACC1A1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为60° ABC　[对于A，∵ABCD­A1B1C1D1为正方体，∴BD∥B1D1，由线面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1，A正确． 对于B，连接AC，∵ABCD­A1B1C1D1为正方体，∴BD⊥AC，且CC1⊥BD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面ACC1，∴BD⊥AC1，B正确． 对于C，由上可知BD⊥平面ACC1，又BD∥B1D1，∴B1D1⊥平面ACC1，则平面ACC1A1⊥平面CB1D1，C正确． 对于D，异面直线AD与CB1所成的角即为直线BC与CB1所成的角，为45°，D错误．故选A，B，C.] 三、填空题 8.如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角是________． 60°　[将其还原成正方体ABCD ­PQRS，连接SC，AS，则PB∥SC， ∴∠ACS(或其补角)是PB与AC所成的角，∵△ACS为正三角形，∴∠ACS＝60°，∴PB与AC所成的角是60°.] 9．在三棱锥P ­ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D ­ABE的体积为V1，P ­ABC的体积为V2，则＝________． 　[如图，设S△ABD＝S1，S△PAB＝S2，E到平面ABD的距离为h1，C到平面PAB的距离为h2，则S2＝2S1，h2＝2h1，V1＝S1h1，V2＝S2h2，∴＝＝＝.] 10.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________． (6，＋∞)　[由题意知：PA⊥DE， 又PE⊥DE，PA∩PE＝P，PA，PE⊂平面PAE， ∴DE⊥平面PAE， ∵AE⊂平面PAE，∴DE⊥AE. 易证△ABE∽△ECD. 设BE＝x，则＝，