模块复习课（四）立体几何初步（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．判断线面平行的两种常用方法 面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法： (1)利用线面平行的判定定理； (2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面． 2．判断面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的判定定理； (2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)； (3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β). [训练1]　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由． 解　当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下： 如图，连接AC和BD交于点O，连接FO，则PF＝PB. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是BD的中点，∴OF∥PD. 又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD， ∴OF∥平面PMD.又MA綊PB， ∴PF綊MA，∴四边形AFPM是平行四边形， ∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD. ∴AF∥平面PMD. 又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC. ∴平面AFC∥平面PMD. [训练2]　如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点．在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH. 证明　连接AC交BD于O，连接MO， 因为M，O分别为PC，AC的中点， 所以MO∥AP. 又因为MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM， 所以PA∥平面BDM. 又PA⊂平面PAHG， 平面PAHG∩平面BDM＝GH，所以PA∥GH. 空间垂直关系的判定方法： (1)判定线线垂直的方法： ①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)； ②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b). (2)判定线面垂直的方法： ①线面垂直定义(一般不易验证任意性)； ②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α)； ③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)； ④面面垂直的性质定理(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)； ⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)； ⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ). (3)面面垂直的判定方法： ①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β). [训练3]　如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点． (1)证明：平面AMD⊥平面BMC； (2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由． (1)证明　由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD， 所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM. 因为M为上异于C，D的点，且DC为直径， 所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，BC，CM⊂平面BMC， 所以DM⊥平面BMC. 而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC. (2)解　当P为AM的中点时，MC∥平面PBD. 证明如下：如图，连接AC交BD于O. 因为ABCD为矩形，所以O为AC中点． 连接OP，因为P为AM中点， 所以MC∥OP.MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD， 所以MC∥平面PBD. [训练4]　如图，在四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形． 证明：PB⊥CD. 证明　 如图，取BC的中点E，连接DE，则四边形ABED为正方形． 过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O. 连接OA，OB，OD，OE. 由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OE⊥BD. 又OE⊥OP，BD∩OP＝O，BD，OP⊂平面PDB， 所以OE⊥平面PDB，从而PB⊥OE. 因为O是BD的中点，E是BC的中点， 所以OE∥CD，因此PB⊥CD. 几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体中的如何下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的使用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用．割补法、构造法是常用的技巧． [训练5]　已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的主视图、左视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________． 12π　[由三视图知，组合体是棱长为2的正