模块复习课（二）三角恒等变换（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

　三角函数求值主要有三种类型 (1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式． (2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围． (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围． [训练1]　已知sin sin ＝，α∈，求的值． 解　∵sinsin ＝， ∴sin ·cos ＝， sin ＝，即cos 2α＝. 又α∈，2α∈(π，2π)， ∴sin 2α＝－＝－＝－， ∴＝＝＝－. [训练2]　已知0＜α＜，0＜β＜，且3sin β＝sin (2α＋β)，4tan ＝1－tan2，求α＋β的值． 解　∵3sinβ＝sin (2α＋β)， 即3sin [(α＋β)－α]＝sin [(α＋β)＋α]， 整理得2sin (α＋β)cos α＝4cos (α＋β)sin α. 即tan (α＋β)＝2tan α. 又∵4tan ＝1－tan2， ∴tanα＝＝， tan(α＋β)＝2tan α＝2×＝1. ∵α＋β∈，∴α＋β＝. 由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类以及不同的式子结构，所以在三角函数的化简与证明中，应充分利用所学的三角函数的和、差、倍、半角等公式，首先从角入手，找出待化简(证明)的式子的特点，然后选择适当的公式“化异为同”，实现三角函数的化简与证明． 化简三角函数式的要求： (1)能求出值的应求出值； (2)使三角函数的种数尽量少； (3)使项数尽量少； (4)尽量使分母不含三角函数； (5)尽量使被开方数不含三角函数； (6)次数尽量低． [训练3]　求证：tan x－tan ＝. 证明　∵左边＝tan x－tan ＝－ ＝ ＝＝＝右边． ∴等式成立． [训练4]　求证：－＝32sin10°. 证明　∵左边＝－ ＝ ＝ ＝ ＝＝＝ ＝＝32sin 10°＝右边． ∴等式成立． 在三角恒等变形中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来． [训练5]　求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x cos x，x∈R的最值及取到最值时x的值． 解　设sin x＋cos x＝t， 则t＝sin x＋cos x＝ ＝sin ， ∴t∈[－， ]， ∴sin x cos x＝＝. ∵f(x)＝sin x＋cos x＋sin x cos x， ∴g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－， ]. 当t＝－1，即sin x＋cos x＝－1时，f(x)min＝－1. 此时，由sin ＝－， 解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z. 当t＝，即sin x＋cos x＝时，f(x)max＝＋. 此时，由sin ＝1. 解得x＝2kπ＋，k∈Z. 综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－1；当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值，f(x)max＝＋. [训练6]　求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域． 解　令sin x－cos x＝t， 则由t＝sin 知t∈[－， ]， 又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2. ∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x ＝t＋1－t2＝－＋. 当t＝时，ymax＝； 当t＝－时，ymin＝－－1. ∴函数的值域为. 解决三角函数综合问题的三个步骤 [训练7]　已知函数f(x)＝2sin sin ＋2sin2－1，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值； (2)若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值． 解　(1)因为f(x)＝(2sin x cos x)＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos 2x＝2sin ，所以T＝＝π， 所以f(x)的最小正周期为π. 又因为x∈，所以2x＋∈， 所以f(x)的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知，f(x0)＝2sin . 又因为f(x0)＝， 所以sin ＝. 由x0∈，得2x0＋∈， 所以cos ＝－＝－， cos2x0＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝. [训练8]　设函数f(x)＝sin2x＋cos. (1)求函数f(x)的最大值及此时x的取值集合； (2)设A，B，C为△ABC的3个内角，已知cos B＝，f＝－，且C为锐角，求sin A的值． 解　(1)∵f(x)＝＋cos 2x－sin 2x＝－