3.1 复数的概念-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

　复　数 3.1　复数的概念(教学方式：基本概念课——逐点理清式教学) [课时目标] 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，通过方程的解认识复数. 2.理解复数的代数表示，理解两个复数相等的条件. 3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件. 逐点清(一)　复数的概念 [多维理解] 　　复数的定义及代数形式 定义 把形如a+bi(其中a，b∈R)的数称为复数，其中a称为复数a+bi的实部，b称为复数a+bi的虚部，i称为虚数单位，i2=-1 代数 形式 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R).我们一般将复数z的实部记作Re z，虚部记作Im z |微|点|助|解|　 (1)虚数单位i性质的关注点 i2=-1的理解：并没有规定i=±还是i=或i=-，在今后的学习中，我们将知道=±i，但不能说i=±. (2)复数概念的两个关注点 ①复数的代数形式：若z=a+bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. ②不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分. [微点练明] 1.若复数z满足z=6i+2i2，则z的虚部是 (　　) A.-2i B.6i C.1 D.6 解析：选D　z=6i+2i2=-2+6i，则z的虚部是6. 2.若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部之和为0，则b的值为 (　　) A.2 B. C.- D.-2 解析：选A　由复数2-bi(b∈R)的实部与虚部之和为0，得2-b=0，即b=2. 3.以-+7i的虚部为实部，以i+5i2的实部为虚部的复数是 (　　) A.7-5i B.-+i C.5+i D.+i 解析：选A　设所求复数为z=a+bi(a，b∈R)，由题意知复数-+7i的虚部为7，所以a=7.复数i+5i2=-5+i的实部为-5，所以b=-5.故z=7-5i. 4.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部，则a的取值范围为　　　　.  解析：由已知可得a2>2a+3，即a2-2a-3>0，解得a>3或a<-1.因此a的取值范围是(-∞，-1)∪(3，+∞). 答案：(-∞，-1)∪(3，+∞) 逐点清(二)　复数的分类 [多维理解] 1.复数集 习惯上用C表示全体复数组成的集合，称为复数集，于是C={a+bi|a，b∈R}. 2.复数的分类 复数z=a+bi(a，b∈R)的分类： (1)当且仅当b=0时，z是实数a; (2)当b≠0时，z称为虚数; (3)当b≠0且a=0时，z=bi称为纯虚数. |微|点|助|解|　 (1)a=0是z=a+bi(a，b∈R)为纯虚数的必要不充分条件. (2)复数集C是目前中学阶段接触到的最大数集，由此可知N+NZQRC. (3)设所给复数为z=a+bi(a，b∈R)， ①z为实数⇔b=0;②z为虚数⇔b≠0;③z为纯虚数⇔a=0且b≠0. [微点练明] 1.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为 (　　) A.1 B.2 C.-1或-2 D.1或2 解析：选B　由得a=2，故选B. 2.已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i，z2=2a+(a2+a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为　　　　.  解析：由z1>z2，得 即解得a=0. 答案：0 3.实数x分别取什么值时，复数z=+(x2-2x-15)i是①实数?②虚数?③纯虚数? 解：①当x满足即x=5时，是实数. ②当x满足 即x≠-3且x≠5时，是虚数. ③当x满足 即x=-2或x=3时，是纯虚数. 逐点清(三)　两个复数相等 [多维理解] 　　若两个复数a+bi，c+di(a，b，c，d∈R)的实部与虚部分别相等，则称这两个复数相等，即a+bi=c+di⇔a=c且b=d.特别地，a+bi=0⇔a=0且b=0. |微|点|助|解|　 (1)应用复数相等的充要条件时要注意：应先将复数化为z=a+bi(a，b∈R)的形式，再应用复数相等的充要条件列方程组求解. (2)a+bi=0，a，b∈R⇔a=0，b=0. [微点练明] 1.若a，b∈R，i是虚数单位，a+2 025i=2-bi，则a2+bi等于 (　　) A.2 025+2i B.2 025+4i C.2+2 025i D.4-2 025i 解析：选D　因为a+2 025i=2-bi，所以a=2，-b=2 025，即a=2，b=-2 025.所以a2+bi=4-2 025i. 2.已知关于x的方程(x2+mx)+2xi=-2-2i(m∈R)有实数根n，且z=m+ni，则复数z等于 (　　) A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i 解析：选B　由题意知(n2+mn)+2ni=-2-2i，即解得∴z=3-i. 3.方程(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0的实数解x=　　　　.  解析：易得解得x=2. 答案：2 4.已知M={1，(m2-2m)+(m2+m-2)i}，P={-1，1，4i}，若M∪P=P，求实数m的值. 解：∵M∪P=P，∴M⊆P. 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1， 得解得m=1; 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i， 得解得m=2.综上可知，m=1或m=2. 学科网（北京）股份有限公司 $