4.5.2 几种简单几何体的体积（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

4．5.2　几种简单几何体的体积 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解柱体、锥体、台体、球的体积公式． 2.能运用体积公式求解有关的体积问题． 通过学习柱体、锥体、台体、球的体积公式，提升数学抽象及数学运算素养． 几何体 体积公式 柱体 圆柱、棱柱 V柱体＝Sh S—柱体底面积，h—柱体的高 锥体 圆锥、棱锥 V锥体＝Sh S—锥体底面积，h—锥体的高 台体 圆台、棱台 V台体＝(S＋＋S′)h S′，S—台体的上、下底面面积，h—台体的高 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，球的计算公式为V＝πR3. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)棱锥的体积等于底面面积与高之积．(　　) (2)棱台的体积可转化为两个棱锥的体积之差．(　　) (3)三棱柱的侧面积也可以用Cl来求解，其中l为侧棱长，C为底面周长．(　　) (4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为(　　) A．27 cm3 B．60 cm3 C．64 cm3 D．125 cm3 B　[V长方体＝3×4×5＝60(cm3).] 3.如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1­ACD的体积是(　　) A． B． C． D．1 A　[VD1­ACD＝××1×1×1＝.] 4．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为________． 3　[设圆台的高为h，由题意知，V＝(π＋2π＋4π)h＝7π，所以h＝3.] (1)已知高为3的三棱柱ABC ­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1­ABC的体积为(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D． D　[设三棱锥B1­ABC的高为h， 则VB1­ABC＝S△ABCh＝××3＝.] (2)(2021·新高考全国卷Ⅱ)正四棱台的上、下底面边长为2，4，侧棱长为2，则四棱台的体积为(　　) A．20＋12 B．28 C． D． C　[如图，设上下底面的中心分别为O1，O2，连接O1O2，O2B，过B1作B1M⊥O2B，垂足为M，则O1B1＝，O2B＝2，BM＝，所以该棱台的高h＝B1M＝＝，所以该四棱台的体积为(S上＋S下＋)＝＝，故选C.] [方法总结]　求解正棱台的表面积和体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长，高，斜高，侧棱长). 常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥．利用正棱锥的有关知识来解决问题． [训练1]　如图，已知正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1­BB1D1D的体积为________． 　[由题意可知四棱锥A1 ­BB1D1D的底面是矩形，长，宽分别为，1，四棱锥的高为A1C1＝，则四棱锥A1 ­BB1D1D的体积为V＝×1××＝.] [知能解读]　要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答． (1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解． (2)“还台为锥”是求解台体体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键． (1)(多选题)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是(　　) A． cm3 B． cm3 C．288π cm3 D．192π cm3 AB　[设圆柱的体积为V，当圆柱的高为8 cm时，V＝π××8＝(cm3)，当圆柱的高为12 cm时，V＝π××12＝(cm3).] (2)将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为(　　) A．6 cm B．6 cm C．2 cm D．3 cm B　[设圆锥中水的底面半径为r cm，由题意知 πr2×r＝22π×6，得r＝2， ∴水面的高度是×2＝6(cm).] [变式]　将本例(1)条件变为“已知体积为52 cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍”，求截得这个圆台的圆锥的体积． 解　由底面面积之比为1∶9知，体积之比为1∶27. 截得的小圆锥与圆台体积比为1∶26， ∴小圆锥的体积为2 cm3， 故原来圆锥的体积为54 cm3. [方法总结]　求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面，准确求出几何体的高和底面积 [训练2]　设圆台的高为