4.5.1 几种简单几何体的表面积（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

4．5　几种简单几何体的表面积和体积 4．5.1　几种简单几何体的表面积 课程内容标准 学科素养凝练 1.通过对柱体、锥体、台体、球的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法． 2.了解柱体、锥体、台体、球的表面积计算公式并解决有关实际问题． 通过学习柱体、锥体、台体、球的侧面展开及表面积的计算公式，提升数学抽象及数学运算素养． 多面体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝Ch C—底面周长 h—高 正棱锥 S正棱锥侧＝Ch′ C —底面周长 h′—斜高 正棱台 S正棱台侧＝(C＋C′)h′ C，C′—两底面周长 h′—斜高 球的表面积由球的半径唯一确定，其计算公式为S＝4πR2. 三、圆柱、圆锥、圆台的表面积(其中r为圆柱、圆锥底面半径，r′，r分别为圆台上、下底面半径，l为母线长) 旋转体 图形 侧面积公式 圆柱 侧面积：S侧＝2πrl 圆锥 侧面积：S侧＝πrl 圆台 侧面积：S侧＝π(r′＋r)l 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)斜三棱柱的侧面积也可以用Cl来求解，其中l为侧棱长，C为底面周长．(　　) (2)多面体的表面积等于各个面的面积之和．(　　) (3)两个球的半径之比为1∶2，则其表面积之比为1∶4.(　　) (4)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面．(　　) (5)圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√ 2．一正四棱锥各棱长均为a，则其表面积为(　　) A．a2　　　　　　　　 B．(1＋)a2 C．2a2 D．(1＋)a2 B　[正四棱锥的底面积为S底＝a2，侧面积为S侧＝4××a×a＝a2，故表面积为S表＝S底＋S侧＝(1＋)a2.] 3．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　) A．1∶2 B．1∶ C．1∶ D．∶2 C　[设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r，∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶.] 4．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________． 8π　[过正方体的对角面作截面如图所示．故球的半径r＝，∴其表面积S＝4π×()2＝8π.] [知能解读]　多面体中的有关计算通常转化为平面图形(三角形或特殊的四边形)来计算，对于棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形，即棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的投影构成的直角三角形，或者由棱锥的高、侧棱以及侧棱在底面上的投影构成的直角三角形． 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积． 解　如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O， 体对角线A1C＝15，B1D＝9， ∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝＋＝＝＝64， ∴AB＝8. ∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160. ∴直四棱柱的底面积S底＝AC·BD＝20. ∴直四棱柱的表面积S表＝160＋2×20＝160＋40. [变式]　将本例的条件变为“已知正四棱台上底面边长为4 cm，侧棱和下底面边长都是8 cm”，求它的侧面积． 解　方法一　如图，作B1F⊥BC， 垂足为F，设棱台的斜高为h′. 在Rt△B1FB中，B1F＝h′， BF＝(8－4)＝2(cm)，B1B＝8 cm， ∴B1F＝＝2(cm)， ∴h′＝B1F＝2 cm. ∴S正四棱台侧＝4××(4＋8)×2＝48(cm2). 方法二　延长正四棱台的侧棱交于点P，取BC的中点E，连接PE，交B1C1于点E1，如图，设PB1＝x cm， 则＝，得x＝8 cm. ∴PB1＝B1B＝8 cm， ∴E1为PE的中点． ∴PE1＝＝2(cm). PE＝2PE1＝4 cm. ∴S正四棱台侧＝S大正四棱锥侧－S小正四棱锥侧 ＝4××8×PE－4××4×PE1 ＝4××8×4－4××4×2 ＝48(cm2). [方法总结]　棱柱、棱锥、棱台的表面积求法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和． (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和 [训练1]　已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S ­ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积． 解　∵四棱锥S ­ABCD的各棱长均为5， ∴各侧面都是全等的正三角形．设E为AB的中点，连接SE(图略)，则SE⊥AB， ∴S侧＝4S△SAB＝4×AB×SE＝2×5× ＝25，S表＝S侧＋S底＝25＋25＝25(＋1). [知能解读] (1)正方体的内切球