4.3.2 第二课时 直线与平面垂直（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

第二课时　直线与平面垂直 课程内容标准 学科素养凝练 1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念． 2.掌握直线与平面垂直的性质定理及判定定理． 3.会用直线与平面垂直的性质定理及判定定理解决问题． 通过学习直线与平面垂直的性质定理及判定定理，提升逻辑推理及直观想象素养． 定义 如果直线l与平面α相交，并且垂直于这个平面内的所有直线，那么就称直线l与平面α垂直． 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l的垂面，它们的交点叫作垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，则l⊥α 图形语言 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 若a⊥α，b⊥α，则a∥b 图形语言 作用 定理揭示了“平行”与“垂直”之间的一种联系，利用这个定理可以判定两条直线平行 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线与这个平面的距离． 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α相交，但不与平面α垂直，则直线l称为平面α的一条斜线，如图中直线PA 斜足 斜线l与平面α的交点A 射影 过斜线l上斜足以外的一点P向平面作垂线，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线l在平面α上的投影 直线与 平面所 成的角 定义：平面的一条斜线与它在该平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角． 当直线l与平面α平行或在平面α内时，直线l与平面α所成的角是0°．当直线l与平面α垂直时，直线l与平面α所成的角是90° 取值范围 直线l与平面α所成角θ的取值范围是0°≤θ≤90° 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(　　) (2)若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.(　　) (3)若a⊥b，b⊥α，则a∥α.(　　) (4)若直线与平面垂直，此时直线与平面所成的角为90°.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是(　　) A．平行　　　　　　　　 B．垂直 C．相交 D．不确定 B　[由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因为三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.] 3．直线a与b垂直，b⊥平面α，则a与平面α的位置关系是(　　) A．a∥α B．a⊥α C．a⊂α D．a⊂α或a∥α D　[a⊥b，b⊥α，则a⊂α或a∥α.] 4．P是△ABC所在平面α外一点，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心． (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心． (1)外　(2)垂　[(1)因为PA＝PB＝PC，连接OA，OB，OC，由三角形全等可知OA＝OB＝OC， 故O是三角形ABC的外心． (2)如图，连接AO并延长交BC于点D，连接PD. ∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC， ∴PA⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC， 又PO⊥BC，且PO∩PA＝P， 所以BC⊥平面PAD，又AD⊂平面PAD，所以AD⊥BC. 同理BO⊥AC，CO⊥AB，所以点O为△ABC的垂心．] [知能解读]　线线垂直和线面垂直的相互转化 如图，在三棱锥S­ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 证明　(1)因为SA＝SC，D是AC的中点， 所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD， 由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS， 所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC， 所以SD⊥平面ABC. (2)因为AB＝BC，D为AC的中点， 所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD. 又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC， 所以BD⊥平面SAC. [方法总结]　 (1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 ①在这个平面内找两条相交直线，使它们和这条直线垂直； ②根据判定定理得出结论． (2)平行转化法(利用推论)： ①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②