4.3.1 空间中直线与直线的位置关系（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

4．3　直线与直线、直线与平面的位置关系 4．3.1　空间中直线与直线的位置关系 课程内容标准 学科素养凝练 1.了解异面直线的概念及表示方法． 2.会用符号语言准确表述几何对象的位置关系． 通过研究空间点、线、面的位置关系，提升数学抽象及直观想象素养． 1．空间两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有以下三种： (1)相交——在同一个平面内，两条直线有且只有一个公共点； (2)平行——在同一个平面内，两条直线没有公共点； (3)异面——两条直线不同在任何一个平面内，没有公共点． 2．平行直线 (1)基本事实：平行于同一条直线的两条直线平行． 用符号语言描述上述基本事实，即为若a，b，c为空间中三条不重合的直线，且a∥b，a∥c，则b∥c. (2)等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．异面直线 (1)异面直线的画法(衬托平面法) 如图①②所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托． (2)异面直线的判定方法：与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线． (3)异面直线所成的角 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 在空间任取一点P，过P分别作a和b的平行线a′和b′ 结论 我们把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a与b所成的角 范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90° 特殊情况 如果两条异面直线a与b所成的角为90°，则称这两条异面直线互相垂直． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线．(　　) (2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行．(　　) (3)两条直线无公共点，则这两条直线平行．(　　) (4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　) A．平行　　　　　　　 B．异面 C．相交 D．平行、相交或异面 D　[如图，在长方体ABCD ­A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b， 已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD ­A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面．] 3．如图所示，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为________． 60°　[连接BC1，A1C1(图略)，∵BC1∥AD1，∴∠A1BC1(或其补角)是异面直线A1B与AD1所成的角．在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.] 如图，在正方体ABCD ­A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′. 证明　因为E，E′分别是AB，A′B′的中点， 所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′. 所以四边形EBB′E′是平行四边形， 所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′. 所以EE′∥FF′. [变式1]　在本例中，若M，N分别是A′D′，C′D′的中点，求证：四边形ACNM是梯形． 证明　如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，MN∥A′C′，且MN＝A′C′， 因为A′C′∥AC，且A′C′＝AC， 所以MN∥AC，且MN＝AC. 又AM与CN不平行， 故四边形ACNM是梯形． [变式2]　若将本例变为已知E，E′分别是正方体ABCD­A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中点． 求证：∠BEC＝∠B′E′C′. 证明　如图所示，连接EE′. 因为E，E′分别是AD，A′D′的中点， 所以AE∥A′E′，且AE＝A′E′. 所以四边形AEE′A′是平行四边形． 所以AA′∥EE′，且AA′＝EE′. 又因为AA′∥BB′，且AA′＝BB′， 所以EE′∥BB′，且EE′＝BB′， 所以四边形BEE′B′是平行四边形， 所以BE∥B′E′.同理可证CE∥C′E′. 又因为∠BEC与∠B′E′C′的两边方向相同， 所以∠BEC＝∠B′E′C′. [方法总结] (1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内没有公共点；②利用基本事实4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． (2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能． [训练1]　(1)如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点． 求证：∠BGC＝∠FD1E. 证明