4.2 平面（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

4．2　平　面 课程内容标准 学科素养凝练 1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法． 2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系． 3.能用图形、文字、符号3种语言描述3个基本事实，理解3个基本事实的地位与作用． 1.通过了解平面的概念，研究空间点、线、面的位置关系，提升数学抽象及直观想象素养． 2.通过对3个基本事实的学习和应用，培养逻辑推理、直观想象的数学素养． 1．平面的概念 黑板面、桌面、平静的湖面等都给我们以“平面”的形象，几何中所说的平面，就是从这些物体中抽象出来的．几何里的平面没有厚度，向四周无限延展，即平面是没有大小限制的． 2．平面的表示法 我们通常用一个平行四边形来代表平面．平面常用小写希腊字母α，β，γ，…来表示，把它写在表示平面的平行四边形的一个角上．还可以用表示平面的平行四边形的顶点字母或对角顶点字母来表示． 如图中的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. 1．点A在直线l上，记作A∈l；点B不在直线l上，记作B∉l. 2．点A在平面α内，记作A∈α；点B不在平面α内，记作B∉α. 3．直线a在平面α内，记作a⊂α；直线b不在平面α内，记作b⊄α. 4．直线a与直线l相交于点O，记作a∩l＝O；直线b与直线l不相交，记作b∩l＝∅． 5．直线l与平面α相交于点A，记作l∩α＝A；直线l与平面α不相交；记作l∩α＝∅. 6．若平面α和平面β相交于直线l，记作α∩β＝l, 平面α和平面β不相交；记作α∩β＝∅. 基本事实 内容 图形 符号 作用 基本 事实1 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 若A∈α， B∈α， 则AB⊂α 用来 证明 直线 在平 面内 基本 事实2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 用来 确定 一个 平面 推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面 A∉a⇒ 存在唯 一α，使 A∈α， a⊂α 推论2：两条相交直线确定一个平面 a∩b＝ O⇒存 在唯一的 平面α使 a⊂α， b⊂α 推论3：两条平行直线确定一个平面 a∥b⇒ 存在唯一 的α使 a∈α， b∈α 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 若P∈α， P∈β，则 α∩β＝l，且P∈l 用来 证明 空间 的点 共线 和线 共点 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)三点可以确定一个平面．(　　) (2)一条直线和一个点可以确定一个平面．(　　) (3)四边形是平面图形．(　　) (4)两条相交直线可以确定一个平面．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．有以下结论： ①平面是处处平的面；②平面是无限延展的；③平面的形状是平行四边形；④一个平面的厚度可以是0.001 cm. 其中正确的个数为(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 B　[平面是无限延展的，且没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；③④两种说法是错误的．] 3．(多选题)在下列命题中，是基本事实的是(　　) A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 BCD　[B，C，D是经过长期反复的实践检验的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理，是基本事实．A不是基本事实．] 4．两两相交的3条直线最多可确定________个平面． 3　[当3条直线共点且不共面时，最多可确定3个平面．] [知能解读]　解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的虚实． 用符号语言表示下列语句，并画出图形． (1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC； (2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC. 解　(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图①. (2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图②. [方法总结] (1)用文字语言、符号