4.1.2 空间几何体的直观图（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

4．1.2　空间几何体的直观图 课程内容标准 学科素养凝练 能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体，球，圆柱，圆锥，棱柱及其简单组合体)的直观图． 通过画出简单空间图形的直观图，提升数学抽象及直观想象素养． 　斜二测画法主要用于画多面体的直观图，它的具体步骤是： (1)在已知图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy，再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°. (2)画直观图时，把轴Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面． (3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段． (4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度取原来的一半． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变．(　　) (2)在几何体的直观图中，原来平行的直线仍然平行．(　　) (3)在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变．(　　) (4)在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是(　　) C　[正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.] 3．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，其直观图的面积为________ cm2. 5　[由题意得，直观图为平行四边形，以长为底所对应的高为 cm，所以其直观图的面积为S＝5(cm2).] 4．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的图形的序号是________． ①　[②③错在虚线的使用上，④是放置在你水平视线的右上角绘制的，故只有①对．] 画出如图水平放置的直角梯形的直观图． 解　画法： (1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图①.画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②； (2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②； (3)去掉辅助线，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图③. [变式]　若得本例中的直角梯形改为等腰梯形，画出其直观图． 解　画法： (1)取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，如图①，画出对应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②； ① (2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画出C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD，连接B′C′，D′A′，如图②； ② (3)擦去辅助线，所得的四边形A′B′C′D′ 就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图③. ③ [方法总结]　在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的平面直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可． [训练1]　画一个锐角为45°的平行四边形的直观图(尺寸自定). 解　(1)画轴．如图①，建立平面直角坐标系xOy，再建立坐标系x′O′y′，其中∠x′O′y′＝45°. (2)描点．如图②，在x′轴上截取O′A′＝OA，O′B′＝OB，在y轴上截取O′D′＝OD，过点D′作D′C′∥x′轴，且D′C′＝DC. (3)连线．连接B′C′，A′D′. (4)成图．如图③，擦去辅助线，四边形A′B′C′D′即为一个锐角为45°的平行四边形ABCD的直观图． [知能解读]　直观图中应遵循的基本原则 (1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段； (2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半． (3)直观图画法口诀“一斜、二半、三不变”． 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD ­A′B′C′D′的直观图． 解　 ① 画法步骤：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 c