4.1.2 空间几何体的直观图-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦空间几何体的直观图，核心内容为斜二测画法，涵盖平面图形与空间几何体直观图的画法步骤、直观图与原图的关系，通过课前自主落实基础（建系、平行不变、长度规则），课堂梯度进阶题型（平面图形、空间几何体、还原计算）构建学习支架。 其亮点是采用梯度进阶式教学，结合“思维建模”“思维导图”梳理画法关键，突出“三变三不变”规律，通过画直角梯形直观图、还原计算面积等实例，培养数学眼光（空间观念）与数学思维（逻辑推理），助力学生构建空间思维，教师可借助系统训练提升教学效率。

4.1.2 空间几何体的直观图 (教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 了解平行投影、斜二测画法.能用斜二测画法画出简单空间图形(球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 45° 平行于 不变 一半 2.空间几何体直观图的画法规则 (1)在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox，Oy，再取Oz轴，使∠xOz=______，且∠yOz=______. (2)画直观图时，把它们画成对应的轴O'x'，O'y'，O'z'，使∠x'O'y'=___ (或_____)，∠x'O'z'=_____，x'O'y'所确定的平面表示水平平面. 90° 90° 45° 135° 90° (3)已知图形中平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成________x'轴，y'轴或z'轴的线段. (4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度______，平行于y轴的线段，长度取原来的______. 平行于 不变 一半 |微|点|助|解|　 (1)斜二测画法中的建系原则 在已知图形中建立平面直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都可以，但实际作图时，一般建立特殊的平面直角坐标系，尽量运用原有直线或图形中的垂直直线为坐标轴. (2)直观图与原图的关系 “三变” “三不变” 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形. (　　) (2)平行四边形的直观图仍是平行四边形. (　　) (3)两条相交直线的直观图可能是平行直线. (　　) (4)两条垂直的直线的直观图仍互相垂直. (　　) ×　 √　 ×　 × 2.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A=90°，则在直观图中∠A'= (　　) A.45° B.135° C.45°或135° D.90° √ 3.如图为棱柱的直观图，则直观图中△ABC对应的真实图形是 (　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.长方形 √ 课堂题点研究·迁移应用融通 03 题型(一)　用斜二测画法画平面图形的直观图 [例1]　画出如图水平放置的直角梯形的直观图. 解：在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画出相应的x'轴和y'轴，使∠x'O'y'=45°，如图①②所示. (2)在x'轴上截取O'B'=OB，在y'轴上截取O'D'=OD，过点D'作x'轴的平行线l，在l上沿x'轴正方向取点C'使得D'C'=DC.连接B'C'，如图②. (3)擦去辅助线x'轴、y'轴和直线l，所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形OBCD的直观图，如图③. |思|维|建|模| 画水平放置的平面图形的直观图的技巧 (1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点. (2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定. (3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同. 针对训练 1.用斜二测画法画(如图所示)边长为4 cm的水平放置的 正三角形的直观图. 解：(1)如图①，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上 的高线AO所在的直线为y轴. (2)画对应的x'轴、y'轴，使∠x'O'y'=45°.在x'轴上截 取O'B'=O'C'=2 cm，在y'轴上截取O'A'=OA，连接A'B'，A'C'，如图②. (3)擦去辅助线x'轴和y'轴，则三角形A'B'C'即为正三角形ABC的直观图. 题型(二)　用斜二测画法画空间几何体的直观图 [例2]　用斜二测画法画一个上底面边长为1 cm，下底面边长为2 cm，高(两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度)为2 cm的正四棱台. 解：(1)画轴.如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°. (2)画下底面.在平面xOy上画边长为2 cm的正方形的直观图，即平行四边形ABCD. (3)画上底面.在轴Oz上截取OO'=2 cm，过O'分别作平行于轴Ox、轴Oy的轴O'x'、轴O'y'，在平面x'O'y'上用画正四棱台下底面直观图的方法画出正四棱台的边长为1 cm的上底面的直观图，即平行四边形A'B'C'D'. (4)依次连接AA'，BB'，CC'，DD'，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线)得到正四棱台的直观图，如图②所示. 　|思|维|建|模|　 画空间几何体的直观图的关键 (1)对于一些常见简单几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便快速准确地画出. (2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向. (3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，方向与长度都与原来保持一致. 2.用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD⁃A'B'C'D'的直观图. 针对训练 解：(1)画轴.如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°. (2)画底面.以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN=2 cm; 在y轴上取线段PQ，使PQ=1 cm. 分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线， 设它们的交点分别为A，B，C，D， 四边形ABCD就是正方体的底面ABCD. (3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'. (4)成图.顺次连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图(如图②). 题型(三)　平面直观图的还原与计算 [例3]　(1)一平面四边形OABC的直观图O'A'B'C'如图所示，其中O'C'⊥x'，A'B'⊥x'，B'C'∥y'，则四边形OABC的面积为 (　　) A. B.3 C.3 D. √ 解析：由题图知∠x'O'y'=45°，O'C'=O'A'=1，∴A'B'=2. ∴S四边形O'A'B'C'=(1+2)×1=， ==， 解得S四边形OABC=3. (2)如图所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=6 cm，C'D'=2 cm，则原图形是_____.  菱形 解析：如图所示，在原图形OABC中， 应有OD=2O'D'=2×2=4(cm)，CD=C'D'=2(cm)， ∴OC===6(cm). ∴OA=OC，故四边形OABC是菱形. |思|维|建|模| (1)由直观图还原平面图形关键有两点： ①平行于x'轴的线段长度不变，平行于y'轴的线段变为原来的2倍; ②对于相邻两边不与x'轴，y'轴平行的顶点可通过作x'轴、y'轴平行线变换确定其在xOy中的位置. (2)一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积间的关系是=. 针对训练 3.如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是 (　　) √ 解析：根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y'轴的边与底边垂直. 4.若△ABC为边长为2 cm的正三角形，则其水平放置(斜二测画法)的直观图的面积为_____，其直观图的周长为________.  2+ 解析：如图所示. △ABC为边长为2 cm的正三角形，则其水平放置的直观图△A'B'C'的面积为S△A'B'C'=·B'C'·O'A'·sin 45°=×2××sin 45°=. 其直观图△A'B'C'的周长为 L=A'B'+B'C'+C'A' =+ 2+ =+2+=2+. 课时跟踪检测 03 1.根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O'x'，O'y'，O'z'，则∠x'O'y'与∠x'O'z'的度数分别为(　　) A.90°，90° B.45°，90° C.135°，90° D.45°或135°，90° √ 解析：根据斜二测画法的规则，∠x'O'y'的度数应为45°或135°，∠x'O'z'指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°. 2.已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m.如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为 (　　) A.4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm B.4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm C.4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm D.4 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm √ 解析：由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm， 斜二测画法画直观图的步骤： 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中平行于x'轴，保持长度不变; 已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中平行于y'轴，长度变为原来的一半; 已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中平行于z'轴，保持长度不变. 所以该建筑物按1∶500的比例画出它的直观图的相应尺寸分别为4 cm，0.5 cm，2 cm和1.6 cm.故选C. 3.如图所示，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图， 则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是 (　　) A.AB B.AD C.BC D.AC √ 解析：还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长.故选D. 4.(多选)下列命题正确的是 (　　) A.水平放置的角的直观图一定是角 B.相等的角在直观图中仍然相等 C.相等的线段在直观图中仍然相等 D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 √ √ 解析：水平放置的平面图形不会改变形状，A正确;正方形的直观图为平行四边形，角度不一定相等，B错;因为平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，所以C错;平行性不会改变，所以D正确. 5.如图所示，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O'C'=O'A'=2O'B'，则△ABC是 (　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.以上选项都不对 √ 解析：根据斜二测画法可知，在原图形中，O为CA的中点，AC⊥OB. 因为O'C'=O'A'=2O'B'，所以CO=AO=OB=AC， 则△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，如图所示，故选C. 6.(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下述结论正确的是(　　) A.梯形的直观图仍旧是梯形 B.若△ABC的直观图是边长为2的等边三角形， 那么△ABC的面积为 √ C.△ABC的直观图如图所示，A'B'在x'轴上，且A'B'=2，B'C'与x'轴垂直，且B'C'=，则△ABC的面积为4 D.菱形的直观图可以是正方形 √ 解析：由于斜二测画法平行关系不变，故梯形的直观图仍旧是梯形，故A正确; 直观图面积为×4=，根据直观图与原图面积关系可得=S，解得S=2，故B错误; 直观图中S△A'B'C'=×2×=，则△ABC的面积S==4，故C正确; 由于平行于y轴的线段长度减半，故菱形的直观图一定是邻边不等的平行四边形，故D错误. 7.(多选)已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=2，用斜二测画法画出它的直观图△A'B'C'，则B'C'的长可能是 (　　) A.2 B.2 C. D. √ √ 解析：以B'C'为x'轴，画出直观图，如图1，此时 'C'=BC==2，A正确; 以B'C'为y'轴，则此时B'C'=BC=，则B'C‘ 的长度范围是[，2]，若以A'B'或A'C'为x'轴， 画出直观图，如图2，以A'B'为x'轴，则A'B'=2，A‘ C'=1，此时过点C'作C'D⊥x'轴于点D，又∠C'A'B'=45°， 则A'D=C'D=，B'D=2-， 由勾股定理得B'C'==，C正确. 8.(5分)斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4，4)在直观图中对应的点为M'，则M'的坐标为_______.  (4，2) 解析：在坐标系x'O'y'中，过点(4，0)和y'轴平行的直线与过点(0，2)和x'轴平行的直线交点即是点M'，所以M'为(4，2). 9. (5分)在直观图中，四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中原四边形OABC为______ (填形状)，面积为____cm2.  矩形 8 解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA=2 cm，OC=4 cm，所以四边形OABC的面积S=2×4=8(cm2). 10. (5分)如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A'O‘ B'，则△AOB的周长是_________.  4+4 解析：根据直观图画出原图如图所示，根据原图和直观图 的关系可知，OB=4，OD=BD=2，AD=8，所以OA=AB==2.所以△AOB的周长是 4+2×2=4+4. 11. (5分)水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B'C'=4，A'C'=3，则△ABC中AB边上的中线的长度为______.  解析：把直观图还原成平面图形(如图所示)，得△ABC为直角三角形，且两条直角边的长AC=3，BC=8，由勾股定理可得AB=，故△ABC中AB边上的中线长为. 12.(10分)如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标为O (0，0)，A(1，3)，B(3，1)，C(4，6)，D(2，5).试画出 四边形ABCD的直观图. 解：(1)画轴.如图1，建立坐标系x'O'y'，其中∠x'O'y'=45°. (2)描点.在原图中作AE⊥x轴于点E，垂足为E(1，0)，在x'轴上截取O'E'=OE，作A'E'∥y'轴，截取A'E'=AE=1.5.同理确定点B'，C'，D'，其中B'G'=0.5，C'H'=3，D'F'=2.5. (3)连线.连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'. (4)成图.如图2，四边形A'B'C'D'即为四边形ABCD的直观图. 13.(10分)一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图. 解：(1)画轴.如图1所示，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy=45°，∠xOz=90°. (2)画圆柱的两底面.在x轴上取A，B两点，使AB的长度等于3 cm，且OA=OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面.在Oz上截取点O'，使OO'=4 cm，过O'作Ox的平行线O'x'，Oy的平行线O'y'，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面. (3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P，使PO'等于圆锥的高3 cm. (4)成图.连接A'A，B'B，PA'，PB'，整理得到此几何体的直观图.如图2所示. 14.(10分)如图，△A'B'C'是水平放置的平面图形的 斜二测直观图，将其还原成平面图形. 解：(1)画出平面直角坐标系xOy，在x轴的正方向 上取OA=O'A'，即CA=C'A'. (2)过B'作B'D'∥y'轴，交x'轴于点D'，如图①所示. (3)在OA上取OD=O'D'，过D作DB∥y轴，且使DB=2D'B'，连接AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A'B'C'对应的平面图形，如图②所示. 15.(10分)如图所示的图形是从斜二测画法下的棱长为a的 空心正方体ABCD⁃A1B1C1D1的直观图中分离出来的. (1)求直观图中△A1C1D1的面积;(5分) 解：由题意可知，A1D1=，D1C1=a，∠A1D1C1=135°，所以=A1D1·D1C1·sin∠A1D1C1=××a×=a2. (2)如果用图示中这样一个装置来盛水，那么盛满水后，水的形状可以抽象出一个什么几何体?（5分） 解：水的形状可以抽象出一个三棱锥，如图所示. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $